DENSIDAD DE ENERGÍA ELÉCTRICA

La densidad de energía eléctrica es un concepto muy importante para entender, entre otras cosas, la energía que llevan asociadas las ondas electromagnéticas. Para obtener una expresión que dé cuenta de esta cantidad, se suele partir de un caso particular y luego comprobar su validez para cualquier otra situación general. El caso particular para el que se suele deducir esta expresión es el proceso de carga (o descarga) de un condensador plano de placas paralelas.

En función de la permitividad eléctrica del medio entre las placas se sabe que la capacidad del condensador plano de placas paralelas es:

donde S es la superficie de cada placa y d la distancia de separación entre ellas. Resulta bastante aceptable intuitivamente que la capacidad aumente con la superficie y sea inversamente proporcional a la distancia de separación entre las placas.

Para obtener la energía total almacenada por un condensador plano de placas paralelas a cuenta del campo eléctrico total que se produce en su interior, se considera el trabajo involucrado en el proceso de carga:

donde hemos aplicado

• la relación entre el trabajo y el potencial eléctrico.
• la definición de la capacidad de un condensador.
• la integral indefinida inmediata para un polinomio de grado 1.

El campo eléctrico en el interior de un condensador plano de placas paralelas se puede expresar en función de la densidad superficial de carga (carga eléctrica por unidad de superficie) y la permitividad eléctrica del medio (la expresión se puede hallar haciendo un uso singular del Teorema de Gauss para el cálculo de campos eléctricos):

Utilizando esta expresión se puede obtener la carga total acumulada por el condensador en función del campo eléctrico entre sus placas:

Ahora esta relación se puede sustituir en la expresión obtenida para el trabajo total de carga del condensador y de ahí hallamos la densidad de energía eléctrica (energía eléctrica por unidad de volumen):



Esta expresión, aunque la hayamos obtenido a partir de un caso particular, como es el proceso de carga de un condensador, es absolutamente genérica. Adviértase que no depende de ninguna de las características dimensionales del condensador, sino que solamente depende de la permitividad del medio y el campo eléctrico.

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Como ya se ha visto en otra entrada anterior, una de los puntos claves para la emisión y recepción de ondas electromagnéticas es que los elementos que actúan como antenas en el emisor y el receptor tengan unas dimensiones tales que coincidan con la frecuencia de resonancia de ambos circuitos.

En particular, la longitud física del dipolo que actúa como antena debe ser igual a la mitad de la longitud de onda de la señal eléctrica de corriente alterna que circula a través de ella, o cualquier múltiplo entero de ese valor. Cuando la longitud del dipolo coincide con la mitad de la longitud de la onda eléctrica, entonces tenemos una forma de onda con dos nodos en los extremos (voltaje nulo) y un vientre en el centro (voltaje máximo). Cuando la antena receptora tiene las dimensiones y orientación adecuada, la misma distribución se producirá en ella, tal y como se muestra en uno de los fragmentos del vídeo que se adjunta.

En el vídeo también se justifica de forma muy clara cuál es la dirección de oscilación del campo eléctrico, la del campo magnético, ambas dependientes de la orientación del dipolo emisor, y por qué ambas son ondas transversales, tanto entre sí, como con respecto a la dirección de propagación. De ahí, y con la solución de la ecuación de ondas para el campo eléctrico E y el campo magnético B, se pueden derivar las siguientes propiedades con respecto a la dirección de propagación u de las ondas electromagnéticas en el vacío a gran distancia del emisor (aproximación de ondas planas), basándonos en las propiedades del producto escalar y el producto vectorial de dos vectores:

RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL

Este vídeo pone de manifiesto de forma clara y concisa que las ecuaciones de Maxwell son mucho más complejas de lo que se pueda pensar por su formulación compacta al tratarse de relaciones vectoriales entre campo con cuatro componentes: las tres espaciales y el tiempo. Las ecuaciones de Maxwell expresan las relaciones entre los campo magnéticos y eléctricos cuando éstos son variables en el tiempo.

De la misma forma que se ha introducido en un vídeo anterior, aquí podemos ver cómo obtener la ecuación de ondas a partir de las ecuaciones de Maxwell haciendo uso de una importante relación vectorial y asumiendo una serie de condiciones que hagan más factible su manipulación:

• No hay cargas libres en el espacio considerado.
• La permitividad eléctrica es homogénea en el espacio considerado (vale igual en todos los puntos).
• La permeabilidad magnética es homogénea en el espacio considerado.
• El medio considerado es no conductor.

No pienses que por establecer estas condiciones fijamos un marco excesivamente restrictivo, pues ellas se cumplen tanto en el vacío como en buena parte del espacio exterior en el que habitamos. Por lo tanto, su resultado es válido para un buen número de situaciones cotidianas, aunque no para todas. Por supuesto si alguna de estas condiciones no se cumple, la obtención de la ecuación de ondas se torna mucho más compleja, así como su resolución. Pero el hecho de obtenerla bajo tales circunstancias nos indica la existencia de las ondas electromagnéticas, las cuáles existirán igualmente en otras condiciones, solamente que con propiedades, como la velocidad (de grupo o de fase), la forma, y otras como la atenuación, diferentes.

En este vídeo, no solamente obtenemos la ecuación de ondas diferencial, sino que se demuestra que una de sus soluciones (que no la única) se corresponde con una onda sinusoidal orientada en el eje z, con el campo eléctrico oscilando en una dirección dada dentro del plano x-y, de frecuencia definida y constante de propagación (k) inversamente proporcional a la velocidad de la luz.

GENERACIÓN, DETECCIÓN Y PROPIEDADES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

¿Cuáles fueron las claves para que el experimento de Hertz fuera un éxito?

Lo primero de todo es tomar consciencia de que la teoría electromagnética de Maxwell predecía la existencia de las ondas electromagnéticas arrojando un dato muy concreto: su velocidad de propagación en el vacío debía ser de unos 300.000 Km/s. 

Por otro lado, el estudio de las ondas, que se empezará a abordar en las próximas semanas, establece como una de sus relaciones fundamentales la relación entre la longitud de onda, su velocidad de propagación y su periodo o frecuencia de oscilación.

Esta relación es equivalente a la ley de la cinemática para movimiento rectilíneo uniforme: x = v · t.

La teoría de Maxwell predice que la onda electromagnética se compone de dos ondas transversales entre sí y a la dirección de propagación, E y H, correspondientes a las oscilaciones asociadas al campo eléctrico y magnético.

La longitud de onda es la distancia entre dos puntos de oscilación equivalentes, como pueden ser dos nodos (amplitud nula) o dos vientres (amplitud máxima).

El periodo es el tiempo que la onda emplea en recorrer una longitud de onda y la frecuencia, su inverso, nos da el número de oscilaciones en un segundo.

Para los ondas electromagnéticas en el vacío, la velocidad de propagación vp, es c, la velocidad de la luz.

Para una eficiente emisión y recepción de ondas electromagnéticas la mejor condición es que el dipolo que actúa como antena emisora o receptora (las dos barras enfrentadas que unen la esfera grande con la pequeña, para el transmisor; las dos esferas conectadas por una barra circular casi cerrada, para el receptor), tenga una longitud que sea un múltiplo entero de la mitad de la longitud de onda de la señal eléctrica resonante que se ha generado. Esto impone ya una condicional dimensional al montaje experimental que Hertz tuvo que realizar la cual facilita la generación de ondas estacionarias.

Por otro lado, dado que la velocidad de propagación de la luz es tan elevada, solamente podremos generar ondas electromagnéticas de longitud de ondas manejables en un laboratorio si conseguimos que la frecuencia de resonancia del circuito emisor sea muy elevada también.

Las primeras veces que se observaron los fenómenos manifiestos de las ondas electromagnéticas lo más que se consiguió ver fueron unas pocas efímeros chispas en un receptor de dimensiones adecuadas situado a la distancia justa. Tan pequeñas eran las chispas que Hertz tenía que utilizar un catalejo para poder verlas.

A partir de ahí los experimentos se fueron alineando en la dirección de demostrar que tales fenómenos se debían en efecto a la propagación de ondas. Las ondas, en general, tienen propiedades bien conocidas, y los experimentos se sucedieron para demostrar que estas propiedades se satisfacían también para las ondas de Hertz. Los experimentos más relevantes, algunos de los cuales se recrean en el vídeo que acompaña a esta entrada, pusieron de relieve que:

• las ondas electromagnéticas se reflejan igual que se refleja la luz.
• las ondas electromagnéticas están polarizadas.
• si se utilizan 'espejos' separados un múltiplo de la longitud de ondas se generan ondas estacionarias y el receptor pone de manifiesto su detección. Si la distancia equivale a un múltiplo más media longitud de ondas, en el receptor tenemos un nodo y no se detecta nada.

Durante siglos la discusión sobre la naturaleza ondulatoria o corpuscular de la luz fue una de las controversias más apasionantes en el mundo de la Física. Ahora, el experimento de Hertz dilucidaría para siempre más que la luz es un fenómeno propio de una onda electromagnética que se pone de manifiesto en un rango de frecuencias que nos son visibles. Aunque en un plazo muy corto de tiempo el advenimiento de la Física Cuántica tenía reservada una sorpresa mayúscula más...

REPRODUCCIÓN CASERA DEL EXPERIMENTO DE HERTZ

En el vídeo que acompaña a esta entrada puedes ver como recrear el experimento de Hertz en miniatura con componentes modernos y de asequible adquisición. Para más detalles sobre el material que se necesita y cómo reproducir el experimento puedes pinchar en este link.

EXPERIMENTO DE HERTZ

En el año 1887, el físico alemán Heinrich Rudolf Hertz, realizó un experimento en la Universidad de Karlsruhe, por el que pudo poner en evidencia la existencia de las ondas electromagnéticas predichas por Maxwell.

Como suele suceder con los experimentos que ponen de relieve por primera vez algo, el fenómeno observado fue sumamente sutil: una efímera chispa que saltaba entre dos bolas metálicas en los extremos de una barra metálica curvada en círculo que no se llega a cerrar.

A unos pocos metros de distancia el transmisor de las ondas consistía en una bobina de Helmholtz, capaz de generar un voltaje muy alto, y un par de grandes esferas metálicas, actuando como condensadores. Todo ello constituye un circuito oscilante LC. Al cerrarse el interruptor el circuito oscila en su frecuencia de resonancia. Las oscilaciones crean campos eléctricos variables que se traducen en una chispas visibles entre dos esferas pequeñas próximas que actúan a modo de antena. Esos campos eléctricos variables inducen otros magnéticos y así se genera la perturbación que se propaga con las ondas.

Eso confirma la validez de las ecuaciones de Maxwell y en especial, el término adicional que añadió el científico inglés: la corriente de desplazamiento.

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

El rotacional de un campo vectorial es una operación matemática que nos dice si un campo vectorial está localmente girando o no y el grado en el que lo hace.

El vídeo de arriba nos ayuda a entender este concepto aplicándolo al campo vectorial asociado al desplazamiento del agua de un río. Lo más relevante es que el rotacional de un campo vectorial es siempre perpendicular al mismo y es nulo si el campo en un punto dado no está rotando localmente.

NOTA: el vídeo es en inglés y el rotacional es referido como Curl.

En vídeo de abajo es más formal y nos muestra cómo obtener a partir de la definición del rotacional la expresión matemática para calcularlo.

Esta es la expresión matemática con la que se puede calcular:

Sin necesidad de entrar muy a fondo en los detalles, enlazando con el primer vídeo que se presenta arriba, es intuitivo observar que el campo rotará localmente si en un punto dado la componente 'x' varía con 'y' y la componente 'y' varía con 'x'. Al considerar el cálculo en tres dimensiones aparecen tres términos con la resta de dos derivadas parciales cruzadas, lo cual es lo equivalente a lo referido anteriormente.

Se da la circunstancia de que esta expresión se puede compactar colocando adecuadamente los términos en un determinante 3 x 3, el cual es un elemento del álgebra que se utiliza para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices.

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

Los campos son simplemente funciones matemáticas que describen el comportamiento de ciertas variables en el espacio y en el tiempo. Cuando estos campos no dependen del tiempo, se denominan estacionarios.

Los campos escalares son aquellos que a cada punto del espacio le asignan un valor numérico; por ejemplo, la altura en una montaña o la temperatura en una habitación.

Los campos vectoriales asocian a cada punto del espacio un vector, de forma que les corresponde un módulo o intensidad y una dirección y sentido. El caso más sencillo de imaginar es el campo vectorial que describe la velocidad del agua para un punto dado de un río.

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

El gradiente de un campo escalar nos da un campo vectorial que nos dice en cada punto hacia donde se dirige el mayor cambio posible del campo escalar en función de las variables de las que depende.

En particular, si imagináramos una montaña completamente lisa y libre de obstáculos, el gradiente del campo escalar que describe la superficie de la montaña, nos daría en cada punto, el vector que indica hacia adonde se dirigiría una pelota que dejáramos caer sin impulso inicial libremente cuesta abajo.

De alguna manera el gradiente nos da la forma más rápida y directa de ascender o descender a través de un campo escalar, como puede ser una montaña. Pero es igualmente aplicable a campos escalares de dimensión tres, como puede ser la función que describe le distribución de la temperatura en un espacio dado.

En todos los casos el gradiente tiene la propiedad de ser siempre perpendicular a las curvas o superficies equiescalares; curvas de nivel en el caso de la montaña o superficies isotérmicas (misma temperatura) en el caso de la temperatura de una habitación.

Cuando vemos en el espacios de previsión meteorológica la previsión del tiempo, suelen mostrarse mapas con las líneas isobaras; o sea, líneas que están a la misma presión. Cuando las isobaras están muy juntas se dice que el gradiente de presión es muy grande, lo que puede provocar fuertes vientos.

CAMPO MAGNÉTICO - VECTOR MAGNÉTICO

De la misma manera que en medio material el campo eléctrico E es sustituido por el vector desplazamiento D para incluir el efecto de la polarización del medio P, el campo magnético B es sustituido por el vector magnético H el cual incorpora el efecto de la magnetización del medio M cuando se trata de un material ferromagnético.

En realidad, la relación entre B y H suele facilitarse a través de la curva de histéresis, la cual se obtiene de manera empírica. En última instancia la magnetización M responde a la suma o integración del campo magnético aportado por cada uno de los dominios que componen el material.

En un medio en el que desde el punto de vista magnético el material es lineal, isótropo (mismo comportamiento independientemente de la dirección que se observe) y homogéneo (la densidad es constante) en un debido rango de temperaturas, amplitudes y frecuencias, la magnetización M es proporcional al vector magnético H.

y por lo tanto