MOVIMIENTO PENDULAR

El periodo de las oscilaciones de un péndulo simple depende de su longitud. Péndulos más cortos oscilarán más rápido mientras péndulos más largos oscilarán más lentamente, independientemente de cuál sea su masa.

MEDIR LA CONSTANTE DE LA GRAVEDAD CON PÉNDULO SIMPLE

Una de las aplicaciones prácticas de un péndulo simple es la medida de la constante de la gravedad. Recuerde el lector que las primeras medidas de la constante de la gravedad fueron realizadas por Galileo Galilei utilizando planos inclinados tras comprobar la imprecisión en el intento de medir la caída libre de cuerpos desde lo alto de la torre de Pisa.

RESONANCIA FÍSICA ENTRE PÉNDULOS

Si dos péndulos tienen la misma longitud el movimiento de uno puede ser transferido al otro por resonancia y viceversa. Este es el mismo fenómeno por el que una cuerda de guitarra se pone a vibrar inducida por la vibración del mismo tono procedente de otra. Lo mismo ocurre entre diapasones que emitan la misma nota musical. Pero si la longitud de los péndulos no fuera la misma, al no tener la misma frecuencia de oscilación, esto no sucedería.

PÉNDULO FORZADO EN RÉGIMEN CAÓTICO

 

Tendemos a pensar que los sistemas caóticos tienen que ser complejos, depender de muchas variables y eso es lo que los hace impredetibles. Un caso al uso de tal tipo de sistema sería la meteorología.

Sin embargo un mero péndulo sometido a un estímulo externo, ya sea periódico o discreto, puede entrar en régimen caótico. En el vídeo podemos ver una animación que reproduce el movimiento de un péndulo caótico a partir de las ecuaciones que lo describen y condiciones iniciales dadas. Aunque no tengamos el detalle de tales ecuaciones, partimos de la base de que son sencillas y están bien definidas.

PÉNDULO SIMPLE FORZADO

Un sistema muy digno de estudio es el de un péndulo simple sometido al influjo de una fuerza externa oscilante. El péndulo tiene una frecuencia natural de oscilación propia que solamente depende de la longitud del mismo (y de la constante de la gravedad). La fuerza externa oscilante tendrá una frecuencia dada, que en el experimento del vídeo se puede cambiar. 

De la relación entre la frecuencia de la fuerza externa y la frecuencia natural del péndulo dependerá la amplitud de las oscilaciones de éste. En particular, vemos que hay claramente un valor de la frecuencia externa para el que el péndulo alcanza un máximo en la amplitud. Mientras, para otros valores, tanto mayores como menores, apenas oscila.

Vemos así que un péndulo simple forzado se comporta como un sistema resonante de la misma manera que lo hace un circuito eléctrico RLC.

De hecho, las ecuaciones que describen ambos sistemas son formalmente equivalentes; solamente que dependen de constantes diferentes.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Como no podía ser de otra manera del movimiento armónico simple ideal al real tenía que haber alguna diferencia. Como siempre, lo que marca la diferencia es la fricción, el rozamiento. Si ponemos a oscilar un péndulo en el vacío su movimiento no se detendrá nunca, manteniendo la amplitud de sus oscilaciones. Peroen cualquier otro medio, el péndulo irá paulatinamente disminuyendo la amplitud de sus oscilaciones hasta detenerse. El que eso suceda más o menos rápido va a depender de la densidad del medio. Cuanto más denso sea el medio, mayor será la fricción que genere en el péndulo, y más rápidamente disminuirá la amplitud de su movimiento hasta detenerse.

Las oscilaciones amortiguadas se producen debido a la fricción que ejerce el medio en el que se mueve el oscilador.

PÉNDULO SIMPLE: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN.

El Instituto de Tecnología de Massashussets en general, y el profesor Walter Lewin en particular, son en la actualidad un referente mundial en lo que se refiere a la Didáctica de la Física. En este vídeo promocional podemos tomar consciencia de algo que aparentemente parece contradecir nuestra intuición. En un péndulo simple la aceleración es máxima justo en el momento en el que se detiene. Esto sucede en los extremos, justo cuando la velocidad es cero. Por lo tanto, es en los extremos cuando el objeto que pende del péndulo puede impactar con una fuerza mayor, atendiendo a la segunda Ley de Newton. 

En cambio, justo cuando el péndulo pasa por su posición de equilibrio, la aceleración es nula. Pero en este caso la velocidad es máxima. 

Basta con partir de la expresión matemática que describe el movimiento de un péndulo simple y derivarla dos veces para obtener la velocidad, primero, y luego la aceleración. Dado que éstas vienen expresadas por funciones trigonométricas, como el seno o el coseno, un mínimo conocimiento de las mismas nos ayuda a ver en qué puntos serán máximas y mínimas. 

Además, es llamativo caer en la cuenta que la aceleración resulta ser directamente proporcional a la posición relativa al punto de equilibrio.

PÉNDULO FÍSICO: APROXIMACIÓN DE ÁNGULO PEQUEÑO.

En el vídeo que acompaña esta entrada, el prestigioso profesor Walter Lewin del Instituto de Tecnología de Massashussets (MIT) realiza una clase magistral sobre el movimiento armónico simple, la Ley de Hooke y el péndulo físico.

Como siempre combinando teoría y práctica el profesor Lewin introduce el movimiento armónico simple de la mano de los muelles elásticos hasta llegar a la fórmula que predice el periodo de sus oscilaciones que confirmará con un experimento.

Seguidamente introduce el estudio del movimiento de un péndulo y nos muestra cómo éste se comporta únicamente como un movimiento armónico simple en la aproximación de ángulo pequeño. Tras justificar esta aproximación desde un punto de vista teórico nos muestra su validez con un par de experimentos sumamente didácticos utilizando un péndulo gigante colgado el techo.

Finalmente el profesor Lewin argumenta y demuestra cómo el periodo de las oscilaciones de un péndulo no depende para nada de la masa que colgamos del mismo. Lo muestra colgándose él mismo del péndulo y midiendo el tiempo que transcurre al cabo de 10 oscilaciones. Resulta ser el mismo que el obtenido con la única masa del péndulo.

EL PÉNDULO FÍSICO

Un péndulo físico se constituye de un peso de masa m que está sujeto por un hilo o cuerda de longitud L que está fijado en un punto por su extremo superior. Cuando es péndulo físico es desplazado de su posición de equilibrio, oscila. Pero solamente si la amplitud de las oscilaciones es pequeña (aproximación de ángulo pequeño) el péndulo oscila según un movimiento armónico simple. Un análisis pormenorizado de las fuerzas que actúan en el péndulo, tal como se puede ver en el vídeo, muestra que la fuerza que provoca el movimiento del mismo no es proporcional al desplazamiento (en este caso angular) tal y como requiere la Ley de Hooke, sino a su seno.

Lo que sucede es que como el seno de un ángulo muy pequeño es aproximadamente igual al propio ángulo, en este caso sí que se sigue aproximadamente en movimiento armónico simple. En tal caso, el periodo y la frecuencia del movimiento están bien definidos y podemos ver en el vídeo cómo se llega a ver que solamente dependen de la longitud el péndulo y de la constante e la gravedad.

Es decir, que el periodo de oscilación de un péndulo no depende para nada de la masa que colgamos de él.

Cuando estamos en la aproximación de ángulo pequeño decimos que el péndulo físico se comporta como un péndulo simple.

ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA

Una onda no es otra cosa que la propagación de una perturbación. Cuando la perturbación es periódica y actúa de forma que su dependencia con el tiempo es sinusoidal, la ecuación de la onda puede hallarse como la traslación del movimiento armónico simple al que está sometido cada punto del medio afectado por la onda.

Cuando en la expresión final tenemos un signo negativo entre el término temporal y el espacial, se conviene que la onda se propaga hacia la derecha. Cuando lleva un signo positivo, la onda se propaga hacia la izquierda.

La onda se caracteriza por:

• Amplitud A
• Frecuencia ω(omega).
• Número de ondas k

ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIAL DEL M.A.S.

En un oscilador que se mueve siguiendo un movimiento armónico simple hay una continua conversión de energía cinética en potencial y viceversa. En particular, en los puntos extremos donde la elongación es máxima y por lo tanto el oscilador se encuentra lo más lejos posible de su punto de equilibrio, dado que la velocidad es nula, la energía cinética lo es también, por lo que toda la energía es potencial.

En cambio, justo cuando pasa por su punto de equilibrio, la energía cinética (y por tanto, la velocidad) es máxima y la potencial es cero.

Todo este trasvase de energía cinética en potencial y viceversa sucede de tal forma que la energía total se mantiene constante. Tener esto claro en consideración ayuda a resolver por la vía rápida muchos de los problemas típicos de Física del instituto sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento.

Asimismo este análisis nos ayuda a considerar los dos tipos esenciales de energía presentes en prácticamente todos los sistemas físicos: la energía cinética en acción o fruto del movimiento y la energía potencial que depende de la posición.

MÁQUINA DE ONDAS

En una máquina de ondas hecha con fines didácticos podemos apreciar como se propaga la perturbación a través de una onda. Aunque la forma más fácil de imaginarnos y representar una onda es cuando ésta oscila en una sola dirección, muy a menudo el movimiento oscilador puede acontecer en un plano o incluso en todo el espacio.

MOVIMIENTO ONDULATORIO

Cada una de las partículas materiales afectadas por un movimiento ondulatorio se mueve según las ecuaciones del movimiento armónico simple. Es decir, en una onda, cada punto oscila en una dirección. La propagación de esta oscilación es lo que se corresponde con el movimiento ondulatorio.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

La forma de obtener la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple para un muelle elástico es bastante sencilla. Basta con aplicar la segunda Ley de Newton, es decir, F = m·a, donde la fuerza F viene descrita por la Ley de Hooke (F = -k.x). Dado que el movimiento producido por un movimiento armónico simple se produce en una única dimensión se puede sustituir la aceleración 'a' por la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.

Otra cosa es cómo proceder para resolverla. Aquí es donde aparece la idea de la conjetura. Una conjetura es más una suposición que nace más de la intuición que de la razón. En este caso, uno observa la ecuación diferencial y comprueba que la función que describe el movimiento armónico simple debe ser tal que su segunda derivada sea proporcional a sí misma. Ahí es donde uno conjetura que tal función podría tratarse de un seno (o, de forma equivalente, uno coseno), con una amplitud A y una frecuencia angular omega: x(t) = A·sin(w·t).

Derivando esta función dos veces respecto al tiempo y sustituyéndola en la ecuación diferencial, se obtiene la relación entre la frecuencia de las oscilaciones y la propiedades del sistema oscilador: k y m.

LEY DE HOOKE

 

La Ley de Hooke describe las fuerzas de tipo recuperadoras elásticas. Este tipo de fuerzas aparecen cuando un sistema elástico, como un muelle por ejemplo, es desplazado, una distancia x por ejemplo, de su posición de equilibrio. La fuerza actúa siempre para volver al cuerpo a su posición de equilibrio, por lo que se escribe con un signo negativo que indica su oposicón al desplazamiento en la dirección que sea. Si el desplazamiento es hacia la derecha, la fuerza actuará hacia la izquierda.

En el caso de un muelle, la fuerza también depende de su constante elástica k, la cual indica la elongación del muelle por unidad de fuerza aplicada, de forma que F = - k·x.

Hay dos métodos posibles para medir la constante elásctica de un muelle:

• colocando diferentes pesos en una disposición vertical (normalmente suspendiendo el muelle desde un resorte fijo) y midiento su elongación o desplazamiento de la posición de equilibrio. Representar gráficamente fuerzas (que podemos obtener como m·g) y elongación y obtener k como la pendiente de la recta obtenida.
• con una masa dada desplazándola manualmente de su posición de equilibrio para que el sistema empieza a oscilar con un movimiento armónico simple. Podemos medir unas 10 oscilaciones y de ahí sacar el periodo de cada oscilación. Con ello sacamos la frecuencia omega, de la cual conocemos como depende de k.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

El movimiento que genera una onda periódica es consecuencia del transporte de la energía de la perturbación que la ha originado en una determinada dirección.  Pero al nivel de un punto concreto del medio en el que se propaga la onda, el tipo de movimiento que ese punto experimenta es un movimiento armónico simple.

En esencia, un movimiento armónico simple es el que experimenta un objeto a cuenta de una fuerza recuperadora elástica que actúa para volverlo a llevar a su posición de equilibrio después de que una fuerza externa lo haya alejado del mismo.

El caso más sencillo de movimiento armónico simple es el del muelle elástico, el cual se caracteriza por su constante de recuperación elástica k y la masa del cuerpo m que pende de él. La fuerza recuperadora elástica es descrita por la Ley de Hooke. El análisis de todas las fuerzas operando en el sistema conduce a la ecuación diferencial que, resulta, lo describe como un sistema oscilante cuya frecuencia depende, como se ve en el vídeo, de k y de m.

Sin duda lo más interesante es que para el movimiento armónico simple el periodo de las oscilaciones sea constante, ya que depende únicamente de las propiedades del sistema, y no de su amplitud. De forma que, aunque debido a las pérdidas por rozamiento la amplitud de las oscilaciones vaya disminuyendo, cada oscilación durará exactamente igual. Ese valor, para el muelle elástico, depende únicamente de k y de m. ¿Ocurrirá lo propio con un péndulo simple?

ONDAS EN UN MUELLE

Cuando una onda se genera lo que sucede es que la energía de la perturbación que la ha generado se transmite de unas partículas a sus vecinas en una determinada dirección. Pero las partículas, una vez pasada la onda, se mantienen en su posición original. Por lo tanto, en una onda se transmite la energía, pero no la materia.

GENERACIÓN DE ONDAS

Una onda, sea del tipo que sea, se genera siempre como consecuencia de una perturbación. Una perturbación es una acción producida por un agente externo que rompe el equilibrio del sistema. En el vídeo el sistema es el recipiente con agua y el agente externo es el bastón. Cada vez que el bastón golpea al agua en un punto dado genera una perturbación cuya propagación constituye el frente de ondas.

Así que ya sabes, ya sea que hablemos de ondas en el agua, ondas de sonido, ondas sísmicas o incluso ondas de pensamiento, detrás de todas ellas siempre tenemos una perturbación; ya sea ésta el golpeteo del bastón, un relámpago rompiendo en el aire, el colapso de una falla o la impresión de una fuerte emoción.