ÓPTICA CON ESPEJOS. FÓRMULA DE DESCARTES.

El uso de espejos en Óptica Geométrica tiene la ventaja de evitar el problema de la aberración cromática que solamente se produce en lentes donde la ley de la refracción depende del índice de refracción que a su vez depende de la longitud de onda.

Los espejos vienen caracterizados por su radio de curvatura y una única distancia focal f (que se define de forma análoga a como se hace para lentes).

Al igual que con lentes solamente se plantea la resolución de problemas de formación de imágenes con espejos en aproximación paraxial. En este caso concreto es fácil demostrar geométricamente que la relación entre el foco y el radio de curvatura del espejo es aproximadamente:

Un análisis completo de la relaciones entre las diferentes distancias involucradas en la formación de imágenes con espejos en aproximación paraxial conduce a la fórmula de Descartes de los espejos. Al igual que sucede con el dioptrio esférico esta misma fórmula puede expresarse de varias formas equivalentes:

En el vídeo de arriba se puede ver cómo es el trazado de rayos con espejos, cuáles son los puntos claves y cómo deducir la fórmula que rige la formación de imágenes. En el vídeo de abajo podemos ver cómo aplicar esta fórmula bajo un claro criterio de signos para la resolución de problemas de Óptica Geométrica.

ESPEJOS EN ÓPTICA GEOMÉTRICA

El otro elemento común en los sistemas ópticos de la Óptica Geométrica aparte de las lentes son los espejos. Así como con lentes se obtenía de forma visual el trazado de rayos que dan cuenta de la formación de imágenes en aproximación paraxial a partir de la Ley de Snell de la refracción, lo propio ocurre con espejos solamente que ahora las ecuaciones se obtienen a partir de la Ley de Snell de la reflexión.

La aproximación paraxial con espejos evita el inconveniente de la aberración esférica.

En ambos casos es preciso respetar escrupulosamente un convenio de signos claro.

CONVENIO DE SIGNOS PARA LENTES Y ESPEJOS

Cuando uno se enfrenta a la resolución de un problema de Óptica Geométrica con lentes y espejos se encuentra con que hay una gran cantidad de variables cuya interpretación depende del signo de las mismas. De eso depende que las imágenes sean reales o virtuales, derechas o invertidas, etc.

Por eso es importante para evitar ambigüedades definir previamente un convenio de signos claro y seguirlo a rajatabla. Cualquier convenio es válido mientras se respecte de principio a fin aunque pueda que haya algunos que se hayan ido imponiendo como más habituales.

ARTE Y CIENCIA: LENTES DE AGUA Y LUZ

Permitidme compartir esta delicia que es este vídeo publicado por el museo de Ciencias Naturales de Monte Grande en Argentina.

Mi más sincera enhorabuena a ellos por haber sabido convertir la Ciencia en Arte en los juegos visuales que han recreado y capturado utilizando lentes de agua. Porque si algo le falta a la ciencia de hoy en día y a la sociedad que ésta ha generado es Magia.

SISTEMAS ÓPTICOS COMPUESTOS

Muchos de los sistemas ópticos de aplicación práctica son compuestos. Es decir, constan de varias lentes alineadas sobre un eje óptico común. El trazado de los rayos y la obtención de la imagen son más complicados, aunque se basa en las mismas reglas prácticas que se aplican para una sola lente.

Muchas veces la resolución de problemas en sistemas ópticos compuestos se simplifica si estos se acoplan por ejemplo por el hecho que dos lentes comparten el mismo punto focal (imagen de la primera y objeto de la segunda).

También es común en este tipo de sistemas que se intenten sustituir todas las lentes y/o espejos por una lente equivalente cuyos parámetros se hallan a partir de las características y ubicaciones de cada una de las lentes y espejos individuales. Esto es algo muy parecido a lo que se hace en circuitos eléctricos para encontrar la resistencia o impedancia equivalente. De esta forma se pueden tratar sistemas más complejos como si de un componente simple se tratara y así combinarlos quizás con otros sistemas complejos también.

TRAZADO DE RAYOS EN UN DIOPTRIO ESFÉRICO

 

Un dioptrio esférico consiste en dos medios con diferentes índices de refracción separados por una superficie esférica.  Su estudio es de especial interés ya que sienta las bases para entender el trazado de rayos en sistemas ópticos con lentes.

En el estudio del dioptrio esférico se suele suponer que el medio de la derecha tiene un índice de refracción superior al de la izquierda.

En el caso más general, el dioptrio esférico presenta el problema de la aberración esférica: no todos los rayos que llegan paralelos a la superficie de separación pasan por el foco imagen.

Eso no sucede en la aproximación paraxial, en la que se supone que los ángulos que forman los rayos incidentes con respecto a la normal en la superfície de separación son muy pequeños. Cuando esto sucede los rayos "ven" la superficie de separación "casi" como si fuera plano.

En aproximación paraxial sí que todos los rayos incidentes paralelos al eje óptico convergen en el punto focal imagen. Además, hoy otro rayo muy interesante. Es el que pasa por el centro de curvatura el dioptrio. Ese rayo, al incidir siempre perpendicular a la superficie de separación, no se desvía (atendiendo a la Ley de Snell de la refracción).

Un estudio analítico detallado de las relaciones trigonométricas entre los diferentes ángulos y distancias involucrados en combinación con las Leyes de Snell en aproximación paraxial brindan las fórmulas que rigen la formación de imágenes en un dioptrio esférico.

En aproximación paraxial los senos de los ángulos pueden ser aproximados por los propios ángulos.

FÓRMULA DE GAUSS PARA DIOPTRIO ESFÉRICO

En aproximación paraxial podemos sustituir los senos de los ángulos por los propios ángulos en la Ley de Snell de la refracción y triangulizando se puede obtener una fórmula que relaciona la posición del objeto (s) y la imagen (s') en función del radio de curvatura (r) del dioptrio esférico y los respectivos índices de refracción de los dos medios involucrados (n para el de la izquierda, n' para el de la derecha, de suerte que normalmente se supone n' > n).

Las tres fórmulas de la derecha equivalen a la fórmula de Gauss que se ve a la izquierda. 

Se llega a la de arriba o a la de abajo considerando respectivamente el caso concreto de un haz de rayos incidentes paralelos que pasan por el foco imagen o una serie de rayos que pasan por el foco objeto y salen paralelos. Combinando estas dos fórmulas es fácil obtener la expresión de en medio.

CÓMO SE FABRICA UNA LENTE

Las características convergentes o divergentes de una lente dependen tanto de la curvatura de sus superficies como del índice de refracción del material del que están hecha. Dejo este vídeo como curiosidad para ver cómo es el proceso de fabricación de una lente en el que quedan definidos estos parámetros.

ÓPTICA GEOMÉTRICA FORMACIÓN DE IMÁGENES

El estudio de la formación de imágenes con lentes tiene una componente gráfica que se basa en el trazado de ciertos rayos que resultan clave para obtener una visión simplificada del resultado. Podemos establecer estos rayos en base a unos pocos principios:

1. Un rayo de luz que pase por el foco objeto será paralelo al eje óptico a su salida de la lente.
2. Un rayo de luz que se dirija paralelo a la lente pasará por el foco imagen.
3. Un rayo de luz que pase por el centro de la lente no se desviará.
4. Dos rayos cualesquiera paralelos entre sí se cruzarán en el mismo punto del plano focal imagen.

Estos rayos son los que suelen utilizarse para reproducir la formación de imágenes con lentes convergentes o con lentes divergentes.

FORMACIÓN DE IMÁGENES CON LENTES DIVERGENTES

Las lentes divergentes siempre crean imágenes reales, derechas y de menor tamaño que el objeto, aunque su posición y tamaño concretos dependerán de la posición relativa del objeto con respecto al foco objeto.

FORMACIÓN DE IMÁGENES CON LENTES CONVERGENTES

Según la posición en la que se encuentre el objeto respecto al foco objeto de la lente convergente, la imagen creada será real o virtual, se verá aumentada o reducida y estará derecha o invertida. Lo más habitual es que las lentes convergentes creen imágenes reales invertidas y reducidas para objetos alejados.

LENTES CONVERGENTES Y DIVERGENTES

Las lentes convergentes son más gruesas en el centro que en los extremos, tienden a focalizar un haz de rayos paralelos en un punto y suelen formar imágenes reales aunque eso depende de la posición relativa del objeto respecto al foco. Dependiendo de hacia donde están curvadas los dos superficies de separación que la limitan pueden ser equiconvexas, planoconvexas o cóncavo-convexas (o menisco positivo).

Las lentes divergentes son más delgadas en el centro que en los extremos, los rayos que llegan paralelas a ellas suelen divergir al salir de ellas y suelen formar imágenes virtuales aunque eso también depende de la posición relativa del objeto respecto al foco. Dependiendo de hacia donde están curvadas los dos superficies de separación que la limitan pueden ser equicóncavas, planocóncavas o convexo-cóncavas.