EFECTOS DEL PRINCIPIO DE HUYGENS

Tal y cómo puede apreciarse en este vídeo, una de las consecuencias más sorprendentes del principio de Huygens es que un frente de ondas pueda atravesar una serie de obstáculos con rendijas no alineadas y llegar al otro lado.

CHRISTIAAN HUYGENS

Huygens fue un célebre científico holandés que vivió durante el siglo XVII. En esa época, el oro y la plata de América llegaban al puerto de Sevilla desde dónde se vendía al resto de Europa. Mientras el imperio español, dónde nunca se ponía el Sol, se limitaba a vivir a expensas del sometimiento de sus colonias, sin ningún beneficio para su población, los países centroeuropeos renacían con una nueva mentalidad, más austera, mercantilista y emprendedora, quizás bajo la influencia del luteranismo y el protestantismo.

En este contexto en Holanda nacería y se desarrollaría con fuerza la industria de la relojería. Y en ese marco, en el seno de una familia aristócrata bien acomodada, nacería Christian Huygens, el protagonismo de la entrada de hoy.

Podemos decir que Huygens tuvo su vida encarrilada desde muy jovencito. Su padre le procuró una esmerada educación individualizada con los mejores profesores privados. Además tuvo la oportunidad de conocer a René Descartes, quien acudía a menudo a su casa, dejando una importante influencia sobre él.

En el campo de la tecnología, Huygens pasó a la historia como el inventor del primer reloj de péndulo. 

Pero donde la contribución de Huygens tuvo mayor peso desde una perspectiva histórica fue sin duda por su contribución a la Óptica. En particular, a Huygens le debemos el principio que lleva su nombre, por el que se anuncia claramente que la naturaleza intrínseca de la luz es ondulatoria.

Huygens fue contemporáneo de Newton y, de hecho, ambos coincidieron en la Royal Society inglesa, donde mantuvieron acaloradas discusiones. Muy conocida es la controversia que mantuvieron al respecto de la naturaleza esencial de la luz, pues Newton sostenía que debía ser corpuscular. Es decir, Newton estaba convencido que la luz estaba compuesta por partículas fundamentales o corpúsculos mientras que Huygens defendía que la luz era una onda. 

NOTA: La teoría ondulatoria de Huygens no pudo ser certificada definitivamente de forma experimental hasta el siglo XIX, aunque hubo con anterioridad  varios experimentos que apuntaban ya hacia su validez. Sin embargo, a principios del siglo XX, una serie de experimentos que acompañaron el nacimiento de la Física Cuántica, demostrarían que también era cierto que la luz tenía carácter corpuscular, acuñándose la expresión "dualidad onda-corpúsculo" para definir la naturaleza esencial de la luz.

Siguiendo las corrientes de su tiempo, Huygens también realizó estudios en Óptica geométrica, aprendiendo a tallar lentes para montar telescopios y realizar observaciones astronómicas. A este fin le ayudó nada más y nada menos que el gran filósofo Spinoza. Este trabajo dio como fruto el descubrimiento de los anillos de Saturno y su luna Titán.

En fin, no hay como tener buenos padrinos y nacer en el lugar adecuado en el momento oportuno.

PRINCIPIO DE HUYGENS

El principio de Huygens arroja una visión de los frentes de onda que permite explicar de forma intuitiva diferentes fenómenos ondulatorios como lo son la reflexión, la refracción y la difracción de ondas.

Esencialmente Huygens concibió los frentes de ondas como zonas del espacio en las que cada punto se comportaba a su vez como un emisor de ondas secundario, de suerte que las ondas re-emitidas tendrían la misma frecuencia y longitud de onda (por lo tanto la misma velocidad), aunque menos amplitud en virtud de la disminución de la misma con la distancia.

Lo que comúnmente ocurre es que las ondas producidas por estos focos secundarios, que se corresponden con todos los puntos de un mismo frente de ondas, interfieren de tal manera que solamente se produce una interferencia constructiva para todos los puntos que se corresponden con posteriores frentes de ondas. En cualquier otro punto, la interferencia de las ondas provenientes de todos esos puntos es destructiva, dando como resultado una intensidad nula.

Eso es lo que sucede en el espacio abierto. Pero cuando lo que ocurre es que la onda se encuentra con un obstáculo, una parte se refleja y otra se refracta. Y cuando se encuentra con una abertura o rendija en medio de un obstáculo, entonces se produce un patrón de difracción.

El patrón de difracción solamente es apreciable cuando la longitud de la rendija es comparable con la longitud de onda de la onda incidente y puede explicarse de forma descriptiva aplicando el principio de Huygens.

PATRONES DE DIFRACCIÓN

El fenómeno de la difracción se produce cuando un frente de ondas se encuentra con un obstáculo o una rendija en su camino. El efecto de este fenómeno ondulatorio es la emergencia de unos patrones de difracción que ponen de manifiesto la aparición de zonas donde se producen máximos de intensidad más allá de lo que uno podría esperar por la alineación del foco emisor con la rendija.

La primera teoría que consiguió explicar este fenómeno se conoce como principio de Huygens, que consiste básicamente en considerar cada uno del los puntos del espacio localizados en la zona de la rendija como fuentes emisores secundarias de la misma frecuencia que la onda incidente. De forma que la aplicación del principio de superposición a las ondas generadas por tales emisores secundarios dará lugar a un fenómeno de interferencia conjunta que deriva en los susodichos patrones de difracción.

Para la obtención de las expresiones matemáticas exactas que describen los patrones de difracción de una rendija rectangular o circular es preciso cierto dominio de cálculo de integrales definidas o en su defecto la aplicación de transformadas de Fourier.

Los patrones de difracción han sido una valiosísima herramienta para el descubrimiento experimental de importantísimos hitos científicos, como son la naturaleza ondulatoria de la luz, la confirmación de la naturaleza ondulatoria de las partículas constituyentes de la materia o la determinación de la estructura en doble hélice de la molécula de la vida, el ADN.

FENÓMENOS ONDULATORIOS

Las ondas se distinguen no solamente por las magnitudes que les son propias, como la amplitud, la frecuencia o el número de ondas, sino también por una serie de fenómenos que las distinguen de forma exclusiva. Éstos son:

• La reflexión
• La refracción
• La interferencia
• La difracción

REPASO PRÁCTICO DE ONDAS ESTACIONARIAS

La ondas estacionarias son la base en la que se fundamentan los instrumentos musicales y una valiosa herramienta para obtener de forma experimental la velocidad de propagación de una onda en un medio dado.

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIA

La intensidad del sonido en el interior de un tubo de Kundt alcanzará máximos y mínimos en diferentes puntos dependiendo de la frecuencia del tono inyectado en el mismo y de la longitud del medio en el que se propaga antes de reflejarse. Esta longitud se puede ajustar utilizando un émbolo móvil.

Esto puede utilizarse como técnica, basada en le percepción auditiva para detectar los puntos en los que se encuentran los vientres y los nodos para cada frecuencia, y de ahí deducir la velocidad de propagación del sonido igual que se puede hacer con bolitas de porexpan.

La onda de intensidad oscila entre un máximo de amplitud 2A y 0, mientras la onda incidente y la reflejada oscilan entre -A y A.

ONDAS ESTACIONARIAS EN UN CÍRCULO

Este vídeo es muy interesante porque muestra como se crean ondas estacionarias en un círculo. Esto es lo que propuso el modelo atómico de Bohr que le pasaría al electrón alrededor del átomo, lo que conllevó la postulación del primer principio de cuantización atómica.  Por lo tanto, esta es la piedra angular sobre la que nació la Física Cuántica.

Como se puede apreciar en el vídeo solamente puede existir un número discreto de valores de longitudes de onda que mantengan ondas estacionarias en un círculo. La consecuencia inmediata de ello a nivel atómico es que el electrón tiene que ser una onda!!!

TUBO DE KUNDT

 

En tubo de Kundt es un tubo de vidrio de forma cilíndrica que clásicamente se utiliza para la visualización de ondas estacionarias de sonido. Lo que permite ver la forma de tales ondas, con sus nodos y sus vientres, es la disposición de pequeñas partículas en su interior, ya sea algún tipo de producto espolvoreado o bolitas de porexpan.

La cuestión es que en su interior tengamos un tipo de material sólido muy pequeño que sea sensible a las variaciones de presión ejercidas por las ondas, de forma que se disponga en función de ello y permitan su visualización indirecta.

 

MEDICIÓN DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO CON ONDAS ESTACIONARIAS

La velocidad del sonido se puede medir con un experimento en el que se producen ondas estacionarias de sonido en el interior de un tubo de Kundt. La técnica es bastante sencilla. Se disponen en el interior del tubo unas limaduras de arena o tierra en polvo o unas bolitas de un material muy ligero. Con un generador de audio se produce un tono audible cuya frecuencia se selecciona a voluntad.

Si la intensidad del tono audible es suficiente y la relación entre su frecuencia y la longitud del tubo es la propia para que se produzcan ondas estacionarias, las motas de polvo o las bolitas irán distribuyéndose en un patrón que mostrará los puntos en los que se localizan los nodos y los vientres.

En este patrón se puede medir la longitud de onda del sonido generado. Conociendo la longitud de onda y la frecuencia podemos calcular fácilmente la velocidad de propagación del sonido.

En este experimento las ondas estacionarias son las propias de un medio abierto por un extremo y cerrado por el otro. Es decir, el lado al que se conecta el altavoz que emite el sonido está abierto y en el mismo habrá siempre un vientre. Mientras que en el extremo opuesto hay siempre una superficie de separación (a veces el propio recipiente, otras un cambio de medio como puede ser agua) en la que se refleja la onda y donde siempre se encuentra un nodo.

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

El número de nodos (puntos de amplitud nula) y vientres (puntos de amplitud máxima igual a 2A), así como su posición a lo largo de una cuerda, depende de si en la generación de ondas estacionarias se realiza aplicando la frecuencia fundamental o cualquiera de sus armónicos (n). La posición de los mismos puede deducirse a partir de la ecuación de una onda estacionaria tal y como se ve abajo.

La distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos será siempre igual a la mitad de la longitud de onda. De igual manera, la distancia entre un nodo y un vientre consecutivo será siempre igual a la cuarta parte de la longitud de onda.

Estas relaciones son válidas para ondas estacionarias en una cuerda o cualquier otro medio en el que ambos extremos estén fijos o cerrados, como puede ser también un tubo de Kundt.

En todos estos casos la relación entre la longitud de ondas y la longitud del medio será: λ = 2L/n.

GENERADOR DE ONDAS ESTACIONARIAS

Un generador de ondas estacionarias permite seleccionar las frecuencias apropiadas para que se produzcan ondas estacionarias en una cuerda de forma que su semilongitud de onda sea un submúltiplo de la longitud de la misma.

ECUACIÓN DE UNA ONDA ESTACIONARIA

Lo único que hay que hacer para obtener la ecuación de una onda estacionaria es aplicar el principio de superposición con la onda incidente y la reflejada, el valor de cuyos parámetros es exactamente el mismo, sólo distinguiéndose por el signo que pone de relieve la dirección en la que se propagan:

• + hacia la izquierda
• - hacia la derecha

Lo que se obtiene es un valor de la amplitud que depende de la posición oscilando según un término temporal que depende de la frecuencia. Tal amplitud muestra unos valores máximos (vientres) y nulos (nodos) para ciertas posiciones en función del número de onda.

CÓMO GENERAR ONDAS ESTACIONARIAS

Para generar ondas estacionarias en un medio necesitamos que se cumpla una relación específica entre la frecuencia con que actúa la acción perturbadora que genera las ondas  y la longitud del medio por el que se van a propagar interfiriendo con las ondas reflejadas.

A partir de la frecuencia y la velocidad de propagación de las ondas en el medio considerado se puede obtener la relación entre la longitud de ondas y la longitud total del medio que desemboca en la constitución de ondas estacionarias. Tal condición se verifica para un número infinito de valores discretos de longitudes de ondas que son:

• múltiplos de la mitad de la longitud de onda para medios con ambos extremos cerrados (o fijos).
• múltiplos de la mitad de la longitud de onda más una cuarta parte de la misma para medios con un extremo cerrado y un extremos abierto.

ONDAS ESTACIONARIAS

Las ondas estacionarias se producen cuando una onda viaja en un medio hasta un punto en el que es reflejada, de suerte que la onda incidente y la reflejada interfieren de tal forma que se crea un patrón fijo en el espacio de puntos donde hay máximos y mínimos. Los máximos se dan donde la interferencia es siempre constructiva y los puntos en los que se producen se denominan vientres. Los mínimo se dan donde la interferencia es siempre destructiva y los puntos en los que se producen se denominan nodos. En los nodos la amplitud de la onda es nula.

La condición sin-ecuanum para que haya ondas estacionarias es una relación geométrica entre la longitud de onda y la distancia entre el punto donde se generan las ondas y el punto en el que se reflejan. El resultado de esta condición es una serie de valores discretos de longitudes de onda. Cualquier longitud de onda que verifique esta condición dará pie a ondas estacionarias. Esto conduce a que variando la frecuencia de la perturbación que genera las ondas encontremos ciertos valores para los que éstas sean estacionarias.

Hay dos escenarios generales en los que se pueden producir ondas estacionarias. El primero es aquel en el que los dos extremos del medio de propagación se corresponden con un nodo. El más claro ejemplo de ello es una cuerda fija por los dos extremos. Este es el caso que vemos en el vídeo que acompaña a esta entrada. El segundo escenario es aquel en el que el medio de propagación presenta en un extremos un nodo y en el otro un vientre. Un ejemplo es un tubo que tiene una superficie límite por un extremo pero está abierto por el otro.

Dependiendo de si consideramos un medio con los dos extremos fijos o un extremo abierto la relación entre la longitud de onda y la longitud total para que se produzcan ondas estacionarias cambiará.

Las ondas estacionarias son las que están detrás de la reverberación que genera los sonidos característicos de los instrumentos musicales. También son imprescindibles para comprender el principio que daría pie a la primera cuantización de la Física Cuántica.

VELOCIDAD DE FASE EN UN MEDIO DISPERSIVO

La velocidad de fase es ω/k. Esta relación se encuentra completamente en consonancia con la velocidad de fase de una onda pulsante en el límite cuando las frecuencias de las dos ondas interferentes están infinitamente cercanas, ya que para ese caso, la frecuencia media y el valor medio del número de ondas coincide con los de partida.

La velocidad de fase es siempre superior a la velocidad de grupo. Además, llama poderosamente la atención de que, en ciertos casos, la velocidad de fase puede llegar a ser superior incluso a la velocidad de la luz en el vacío. Esto puede dar que pensar que se está violando uno de los principios más importantes de la Física, ya que según la Teoría de la Relatividad, no es posible superar la velocidad de la luz en el vacío. Sin embargo, cabe matizar que tal limitación solamente se aplica a la velocidad a la que puede enviarse información y, por lo tanto, energía. Es decir, la Relatividad nos dice que no es posible enviar información a una velocidad superior a la velocidad de la luz. En un medio dispersivo, la fase de la onda pulsante no puede nunca mandar información. En cambio, se considera que toda la energía y cualquier tipo de información que se pueda transmitir con ella, viajará con la velocidad de grupo.

VELOCIDAD DE GRUPO EN UN MEDIO DISPERSIVO

La velocidad de grupo en un medio dispersivo puede ser hallada extrapolando la expresión que se obtiene las dos ondas que tienen una frecuencia infinitamente cercana interfieren. En ese límite, la expresión en diferencias de la velocidad grupo para una onda pulsante se convierte, por definición, en una derivada de la velocidad angular con respecto al número de ondas.

NOTA: Téngase en cuenta que la expresión que se encontró para una onda pulsante venía en términos de la frecuencia (inversa del periodo) y número de ondas (inverso de la longitud de ondas). La expresión de arriba es equivalente ya que añade un factor 2π tanto al numerador como al denominador.

Para poder obtener la velocidad de grupo es preciso conocer la relación de dispersión.

RELACIÓN DE DISPERSIÓN

La función ω(k) que da cuenta de cómo depende la velocidad angular con el número de ondas se conoce como relación de dispersión. En los medios dispersivos, la relación de dispersión da cuenta de la velocidad de grupo, que al arrojar un valor diferente para cada valor de k lleva a que la onda envolvente de un paquete de ondas se expanda, dispersándose.

ONDAS. MEDIOS DISPERSIVOS.

En un medio dispersivo la velocidad de propagación de las ondas depende de la longitud de onda de las mismas. Si tenemos un paquete de ondas que contiene varios tonos o frecuencias fundamentales (cualquier onda se puede descomponer en tales por las transformadas de Fourier), cada una de estas componentes viajará a una velocidad diferente. La consecuencia es que el paquete se irá dispersando; es decir, cada vez estará menos concentrado en el espacio y dará la sensación de agrandarse e irse distorsionando.

El grado en el que esto puede ocurrir viene dado por la relación de dispersión

VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO DE UNA ONDA PULSANTE

La velocidad de fase es la que se corresponde con la onda pulsante de una pulsación. Su valor puede ser hallado a partir de la frecuencia y número de ondas que le corresponden.

La velocidad de grupo es la que se corresponde con la envolvente y su valor puede ser deducido a partir de la frecuencia y número de ondas de la onda modulada de la pulsación.