PRINCIPIO DE FERMAT

Las leyes de la refracción fueron estudiadas por los griegos y árabes en la antigüedad, establecidas a partir de la experimentación por Snell y enunciadas rigurosamente por Descartes. Pero solamente encontraron una interpretación que pudiera darles sentido en el principio de Huygens (que asume la naturaleza ondulatoria de la luz) y el principio de Fermat (que no necesita definirse según la naturaleza ondulatoria o corpuscular de la luz).

Pierre de Fermat nació en el seno de una familia aristocrática francesa y se formó formalmente en Derecho. Sin embargo, dedicó la práctica totalidad de su tiempo libre al estudio de las Matemáticas. Contemporáneo de Huygens y Descartes, tuvo una importante correspondencia con ambos.

En el terreno de la Óptica, Fermat observó que el camino óptico que sigue un rayo de luz que atraviesa diferentes medios cumple la propiedad de que la suma de los productos de los respectivos índices de refracción por las correspondientes distancias recorridas es constante:

Otra manera de expresarlo fue destacando que el camino óptico es único dados los puntos de partida y llegada de un rayo de luz y los índices de refracción de los medios que atraviesa. Adelantándose a tu tiempo, Fermat lo planteó como que cualquier variación sobre el camino óptico debía de ser nula.

Más adelante, con el desarrollo del cálculo diferencial e integral por parte de Newton y Leibniz, y su aplicación para la representación gráfica de funciones en un sistema de coordenadas cartesianas, sería más sencillo apreciar que el camino óptico puede ser concebido como una función constante, cuya derivada deber ser nula, ya que la derivada de una constante es cero.

En el análisis de funciones, los puntos en los que la derivada es nula, pueden tratarse tanto de máximos como de mínimos locales. En ambos casos la recta tangente a esos puntos es paralela el eje horizontal. Máximos y mínimos locales son ambos denominados extremos locales.

En realidad, el principio de Fermat esconde también un principio extremal, en la que hay una cantidad que en la mayoría de los casos se minimiza, pero en unos pocos casos excepcionales se maximiza. ¿Cuál es esa cantidad?

Hoy en día sabemos que el índice de refracción es igual al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de propagación de la luz en un medio dado: n = c/v. Por lo tanto, el producto de n•s en los sumandos de la expresión de arriba se corresponde con los tiempos empleados en recorrer cada tramo.

O sea, la cantidad que se minimiza (o mejor dicho, se extrema, ya que en ciertas circunstancias inusuales se maximiza) es el tiempo que emplean los rayos de luz para ir de un punto a otro.

En otras palabras, la luz no pierde el tiempo.

El principio de Fermat es sumamente importante porque fue el primer principio extremal que se planteó para explicar una ley física. El principio de Fermat es un principio de mínima acción (donde la acción es el camino óptico). El principio de mínima acción (para diferentes tipos de acciones) ha sido posteriormente utilizado para explicar otras muchas leyes de la Física General.