PULSACIONES

Es difícil encontrar en la Naturaleza fuentes de emisión de ondas de una frecuencia pura. Es más usual que una misma fuente varíe un poco la frecuencia de emisión dando pie a trenes de ondas que se componen de tonos ligeramente diferentes. Cuando dos o más ondas con frecuencias diferentes interfieren se producen pulsaciones. Tales pulsaciones son más claras cuanto más cercanas estén las frecuencias de las ondas individuales entre sí.

Para obtener la expresión que da cuenta de una pulsación no hay más que aplicar el principio de superposición de la misma forma que se hizo para obtener la fórmula para la interferencia de ondas armónicas. Lo único es que en este caso lo que cambia es la frecuencias (y por lo tanto la longitud de onda y el número de ondas k también). Para simplificar lo habitual es considerar que la amplitud de las ondas es la misma.

Al final el resultado de una pulsación es el producto de dos ondas:

• una onda pulsante: que oscila con una frecuencia que se corresponde con la media aritmética de la de las dos ondas originales.
• una onda modulada: que envuelve a la anterior, modificando su amplitud entre cero y un valor máximo. Este máximo se alcanza cuando ambas ondas llegan a estar en fase. Y el mínimo se produce cuando están en oposición de fase. La frecuencia de la onda modulada es igual a la diferencia de la de las dos ondas originales entre dos. Por lo tanto, la onda modulada tiene siempre una frecuencia mucho menor que la pulsante.

INTERFERENCIAS CONSTRUCTIVAS Y DESTRUCTIVAS

Cuando en un punto dado del espacio interfieren dos ondas armónicas lo que vaya a suceder va a depender de la diferencia de fase con que lleguen las ondas a ese punto.

Si ambas ondas llegan en fase, la onda resultante tendrá una amplitud máxima igual a la suma de las amplitudes de las ondas individuales. Se producirá una interferencia constructiva. Esto es lo que ocurre cuando la relación entre las distancias a los focos emisores y la longitud de onda es:

Si ambas ondas llegan en oposición de fase (cuando una alcance un máximo la otra pasará por un mínimo y viceversa) la onda resultante tendrá una amplitud mínima igual al módulo de la diferencia de las amplitudes de las ondas individuales. Se producirá una interferencia destructiva. Esto es lo que ocurre cuando la relación entre las distancias a los focos emisores y la longitud de onda es:

Lo que tenemos tanto para las interferencias constructivas como para las destructivas es una relación en la que la diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. Esos puntos fijos se comportan como los focos de una hipérbola, por lo que los puntos dónde haya respectivamente máximos y mínimos de intensidad se corresponderán con las ramas de hipérbolas en un plano o superficies de hiperboloides en el espacio.

Si las ondas que interfieren no son armónicas, como consecuencia de su interferencia se producirán pulsaciones. La onda resultante tendrá un término que dependerá de forma armónica de la suma de las frecuencias de las ondas individuales y otro que dependerá de su diferencia. El resultado es una onda embebida dentro de otra, modulándola.

INTERFERENCIAS DE ONDAS ARMÓNICAS

¿Cómo será la expresión matemática que dé cuenta de la interferencia de dos ondas en un punto dado del espacio? Lo único que hay que hacer es aplicar el principio de superposición y ciertas razones trigonométricas.

Lo mejor, como suele ser habitual, es centrarse primero en un caso particular que sea más sencillo de manejar. Y a partir de ahí se puede ir generalizando.

En concreto, vale la pena considerar primero lo que ocurre cuando interfieren ondas armónicas de la misma frecuencia. Si el medio es homogéneo (densidad constante) e isótropo (igual en todas las direcciones) la velocidad de propagación de las ondas será constante y eso conlleva que el número de ondas (k) sea el mismo también. Para este caso entonces, lo único que cambiará para dos ondas en un punto dado P será:

• su distancia al foco emisor (s)
• su amplitud (A)

 

Ahora no hay más que aplicar el principio de superposición; es decir, sumar matemáticamente ambas expresiones. Aplicando la razón trigonométrica que da cuenta de cos(a-b) y sacando denominador común:

Bajo la conjetura de que la onda resultante también será armónica (o sea, senosoidal) en su forma más genérica, podremos relacionar la expresión de arriba con la siguiente:

 

Comparando ambas expresiones podemos obtener la amplitud de la onda resultante en función de la distancia del punto considerado a cada uno de los focos (basta con elevar al cuadrado los términos marcados en rojo y violeta y sumarlos).

A lo que se llega es a que en función de la relación entre s1 y s2 con respecto a la longitud de onda tendremos puntos donde habrá interferencias constructivas o destructivas o cualquier situación intermedia entre ambas.

Exactamente esto es lo que se puede ver de forma muy gráfica en el vídeo que acompaña a esta entrada con una animación que simula tales interferencias.

INTERFERENCIAS

Por el principio de superposición sabemos que el efecto de tener dos o más frentes de onda provenientes de diferentes fuentes propagándose a través de un medio, tiene el efecto en cada punto equivalente a sumar los efectos que tendrían en el mismo cada una de las ondas.

El resultado práctico de esto es que se crean patrones de interferencia. Éstos se dan porque hay puntos del espacio en los que la suma de ambas ondas deriva en una amplitud máxima (zonas luminosas), mientras que en otros puntos se dan las condiciones para que la amplitud sea mínima o nula (zonas sombreadas).

Por claridad, conviene enfrentar un estudio detallado del fenómeno ondulatorio de las interferencias para el caso particular de la ondas armónicas.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN, ONDAS ESTACIONARIAS Y FÍSICA CUÁNTICA

Hasta ahora hemos visto como se comporta y caracteriza una onda armónica. ¿Pero cómo podemos describir lo que sucede cuando varias ondas viajan por el mismo medio? Eso viene dado por el principio de superposición.

El origen estricto del principio de superposición es puramente matemático y requiere que un sistema o fenómeno físico pueda ser descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Una manera simplificada de ejemplificar tal tipo de ecuaciones es imaginar una función y(x). La función es lineal si la solución suma de las soluciones que se obtienen a partir de dos valores diferentes de x, 

y1 + y2 = f(x1) + f(x2) 

es igual a la solución que se obtiene directamente de la suma de los dos valores de x,

y12 = f(x1 + x2)

y1 + y2 = y12

La consecuencia de ella es que, aplicado a las ondas, cada onda se comporta como si las demás ondas no estuvieran presentes en el medio.

Si uno quiere hallar el comportamiento total de todas las ondas que se propagan en un medio, puede hallar la ecuación que describe a cada una de ellas y no debe hacer más que sumarlas todas para hallar la ecuación final que las describe a todas a la vez.

Uno de los casos específicos en lo que se aplica el principio de superposición es el de la ondas estacionarias. Estas son ondas que se producen en un medio que esta fijo por uno o ambos extremos; como puede ser una cuerda. Lo que ocurre es que por el extremo que está fijo el medio de propagación, al llegar una onda, es reflejada. Entonces, al haber una onda incidente y otra reflejada, la onda total resulta de la superposición de ambas.

Un caso aún más específico se da cuando una onda estacionaria se produce en un círculo. 

En todos los casos las ondas estacionarias ponen de relieve que éstas solamente pueden perdurar si su longitud de onda guarda una relación concreta con la longitud entre los extremos o del círculo. Es decir, que las ondas estacionarias solamente existen para un número discreto de longitudes de ondas.

Esto es lo que llevaría a la formulación del primer principio de cuantización que daría nacimiento a la Física Cuántica. 

Siendo rigurosos, el principio de superposición solamente es válido para las ondas electromagnéticas y ondas mecánicas de pequeña amplitud, como las ondas sonoras. Para ondas mecánicas de gran amplitud, las vibraciones locales del medio ya no pueden ser descritas como osciladores armónicos y las ecuaciones reales que las modelan incluyen términos no lineales como senos y cosenos. 

ONDAS LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES

En las ondas transversales las oscilaciones se producen en un eje perpendicular a la dirección de propagación.

En las ondas longitudinales las oscilaciones se producen en la misma dirección que la propagación.

En ambos casos lo que se transmite es energía, pero no materia.

FÓRMULA DE VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE UNA ONDA

La velocidad de propagación de una onda se puede expresar de forma generalizada a partir del módulo de Bulk, cantidad qué da cuenta de la capacidad de deformación de un medio por presión.

Es preciso reseñar que la expresión que se obtiene es absolutamente análoga a la de la velocidad de una onda en una cuerda, sin más que sustituyamos B por T, y la densidad lineal por la volumétrica.

El carácter general de esta expresión hace que sea válida tanto para sólidos, como para líquidos y gases. Lo que pasa es que esta expresión general, en cada caso particular derivará en una expresión particular, como puede ser la velocidad del sonido en el aire.

MÓDULO DE BULK

El módulo de Bulk se define como la relación entre la presión deformadora producida por una fuerza por unidad de superficie y la deformación relativa que produce por unidad de volumen.

Esta definición suele aplicarse a sólidos, pero también es válida para líquidos y gases.

En el vídeo de arriba podemos ver cómo se define el módulo de Bulk. Mientras que en el vídeo de abajo podemos ver cómo se aplica precisamente cuando lo único que provoca un cambio de volumen es un cambio en la longitud.

CÓMO DEDUCIR LA VELOCIDAD DEL SONIDO

El primero que abordó el cálculo teórico de la velocidad del sonido en el aire fue Newton. Su principal premisa fue que el sonido se tenía que propagar por el aire a temperatura constante. Bajo esa premisa, teniendo en cuenta los factores de los que depende la velocidad del sonido, podemos por analogía obtener una expresión equivalente a la que se obtiene para la velocidad de una onda en una cuerda, sin más que sustituir la tensión por la presión de la onda de aire y la densidad lineal por la volumétrica.

Sin embargo el valor teórico arrojado por esta fórmula no concuerda lo suficientemente con el que se halla experimentalmente.

Un par de siglos más tarde sería Laplace el que acometería la tarea de corregir la expresión de Newton. ¿Cómo lo hizo? Básicamente lo que hizo fue sustituir la hipótesis de partida. En lugar de suponer que la onda de sonido era un proceso isotermo, lo que supuso fue que era un proceso adiábatico. O sea, que se propaga sin que se produzca un intercambio de calor con el medio. En realidad Laplace concibió que la compresión y expansión que se producía localmente en las moléculas del gas por una onda de sonido se traducirían en un calentamiento y enfriamiento local que en término medio implicaría un intercambio de calor nulo.

Esta premisa añade el coeficiente de expansión adiabático a la expresión teórica y al sustituirlo por su valor en el aire el resultado que da sí que está en buena concordancia con el valor experimental que ronda los 340 m/s.

VELOCIDAD DE UNA ONDA EN UNA CUERDA

La vibración de las partículas de una cuerda se puede concebir como si de una alineación de osciladores armónicos se tratara. De la ecuación diferencial del movimiento armónico simple se deriva la frecuencia angular o pulsación del mismo:

Para una cuerda, la tensión es el equivalente a la constante de recuperación elástica de un oscilador, extendida a lo largo de la misma. Y al estar la masa de la cuerda repartida igualmente en toda su longitud, es lógico que se considere la densidad lineal de masa en lugar de la masa.

Por lo demás, la relación es idéntica, con lo que resulta intuitivo concebir la velocidad de propagación de la onda en la cuerda como la raíz cuadrada de la tensión dividida por la masa por unidad de longitud.

DE QUÉ DEPENDE LA VELOCIDAD DEL SONIDO

La propagación de las ondas de sonido se debe a pequeñas variaciones en la presión a nivel local del medio. Esto es, pequeñas compresiones y expansiones son las que se trasladan de unas moléculas a otras. Por lo tanto es lógico pensar que la velocidad de propagación del sonido va a depender del coeficiente de compresibilidad del medio.

Pero también va a depender de su densidad y de la temperatura. Cuanto más denso sea un medio más rápidas se transmitirán las colisiones de unas moléculas con otras. Cuanto mayor sea la temperatura más agitación molecular habrá, lo que facilitará la transmisión de la energía por colisión igualmente. 

Por último, la velocidad del sonido dependerá de la masa molecular de la/s molécula/s que lo componen. Y también de su estado. A grandes rasgos tendremos una velocidad del sonido para sólidos, otra para líquidos y otra para gases. En los sólidos es dónde la velocidad será mayor. En los gases, como el aire, es dónde la velocidad del sonido será menor.

COMO MEDIR LA VELOCIDAD DEL SONIDO

Uno de los métodos más comúnmente utilizados para medir la velocidad de propagación del sonido en el aire es de las ondas estacionarias en un tubo.

Lo que se hace es controlar la columna de agua que ocupa un volumen dentro de un tubo. Modificando la altura de dicha columna se busca los valores para los que un sonido emitido con una fuente externa (diapasón, generador de audio,...) alcanza máximos y/o mínimos consecutivos.

La distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos se corresponde con la cuarta parte de la longitud de onda.

La distancia entre dos máximos o dos mínimos consecutivos se corresponde con la mitad de la longitud de onda. 

De esta manera a partir de puntos medidos en la columna de agua dentro del tubo se pueden obtener distancias que se relacionan con la longitud de onda. 

Si conocemos la frecuencia del tono emitido, sacaremos la velocidad del sonido como el producto de la longitud de onda por la frecuencia (o lo que es lo mismo, longitud de onda dividida por el periodo; espacio partido por tiempo).

En el vídeo de arriba vemos una recreación realizada con fines didácticos de este experimento.

En el vídeo de abajo vemos como se realiza este experimento con mayor detalle en el laboratorio.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE UNA ONDA

La forma más fácil e intuitiva de hallar la velocidad de propagación de una onda armónica es relacionando la longitud de onda con el periodo que tarda la onda en completar una oscilación completa. A menudo, el periodo se obtiene indirectamente como el inverso de la frecuencia.

Otra cosa es hallar de forma teórica cuál es la velocidad de propagación concreta para cada tipo de onda. Esto va a requerir un estudio pormenorizado del fenómeno subyacente a la propagación de la perturbación original. En la mayoría de los casos esto va a implicar un conocimiento de la naturaleza del medio en el que se propaga. Sin embargo, la velocidad de la luz puede no depender de eso, ya que se puede propagar en el vacío también.

De esta manera se puede obtener una expresión que dé cuenta, por ejemplo, de la:

• velocidad del sonido
• velocidad de la luz

ECUACIÓN DE D' ALEMBERT

Ya se ha visto cómo es la ecuación que describe una onda armónica en una dimensión, cómo deducirla a partir de una conjetura y cómo se puede extrapolar en tres dimensiones o en la aproximación de ondas planas.

Sin embargo, hay otra ecuación que se puede deducir a partir de la ecuación de una onda armónica y que nos muestra otro aspecto de la misma. Se trata de una ecuación diferencial, por lo que se puede deducir derivando la ecuación de partida respecto del tiempo y las coordenadas espaciales y viendo la relación que emerge entre ambas. Se conoce como la ecuación de d' Alembert y pone de relieve que las segundas derivadas de la onda respecto al tiempo y respecto a las coordenadas espaciales son proporcionales a la velocidad de propagación de la mismas al cuadrado. Mejor lo vemos con un pequeño ejemplo aplicado a una onda que se propaga en una sola dimensión.