LEYES DE SNELL SEGÚN EL PRINCIPIO DE FERMAT

El principio de Huygens permite explicar las leyes de Snell de la reflexión y la reflexión de una forma más directa, visual e intuitiva. Sin embargo, el principio de Fermat va mucho más allá y hace posible la directa deducción de dichas leyes.

Para deducir la ley de la reflexión no hay que darle tantas vueltas. Dado que este fenómeno ocurre en un mismo medio, sin que cambie por lo tanto la velocidad de propagación de la luz en el mismo, es seguro que el camino que minimiza el tiempo entre dos puntos es siempre una línea recta. Si el rayo de luz se refleja en un espejo habrá dos tramos. Simplificando podemos considerar que el rayo sale de un punto A y llega a otro B, ambos a la misma distancia del espejo. Es bastante intuitivo pensar que la suma de esas distancias es mínima cuando el rayo se refleja justo en el punto medio entre A y B. En ese caso el ángulo de incidencia será igual al reflejado.

Pero para deducir la ley de la refracción hay que currárselo un poco más, ya que ahora el fenómeno sucede entre dos medios con diferentes índices de refracción. Eso implica que la velocidad de propagación de la luz en cada medio es diferente, por lo que la distancia más corta ya no equivale al tiempo más corto. Lo que hay que hacer, como se puede ver con todo lujo de detalle en el vídeo adjunto, es intentar poner todas las distancias que definen la geometría del problema en función de una única cantidad variable (en el vídeo es 'z'), poner el tiempo total en función de la misma e imponer la condición de mínimo local: derivada del tiempo respecto de 'z' igual a cero.

PRINCIPIO DE FERMAT

Las leyes de la refracción fueron estudiadas por los griegos y árabes en la antigüedad, establecidas a partir de la experimentación por Snell y enunciadas rigurosamente por Descartes. Pero solamente encontraron una interpretación que pudiera darles sentido en el principio de Huygens (que asume la naturaleza ondulatoria de la luz) y el principio de Fermat (que no necesita definirse según la naturaleza ondulatoria o corpuscular de la luz).

Pierre de Fermat nació en el seno de una familia aristocrática francesa y se formó formalmente en Derecho. Sin embargo, dedicó la práctica totalidad de su tiempo libre al estudio de las Matemáticas. Contemporáneo de Huygens y Descartes, tuvo una importante correspondencia con ambos.

En el terreno de la Óptica, Fermat observó que el camino óptico que sigue un rayo de luz que atraviesa diferentes medios cumple la propiedad de que la suma de los productos de los respectivos índices de refracción por las correspondientes distancias recorridas es constante:

Otra manera de expresarlo fue destacando que el camino óptico es único dados los puntos de partida y llegada de un rayo de luz y los índices de refracción de los medios que atraviesa. Adelantándose a tu tiempo, Fermat lo planteó como que cualquier variación sobre el camino óptico debía de ser nula.

Más adelante, con el desarrollo del cálculo diferencial e integral por parte de Newton y Leibniz, y su aplicación para la representación gráfica de funciones en un sistema de coordenadas cartesianas, sería más sencillo apreciar que el camino óptico puede ser concebido como una función constante, cuya derivada deber ser nula, ya que la derivada de una constante es cero.

En el análisis de funciones, los puntos en los que la derivada es nula, pueden tratarse tanto de máximos como de mínimos locales. En ambos casos la recta tangente a esos puntos es paralela el eje horizontal. Máximos y mínimos locales son ambos denominados extremos locales.

En realidad, el principio de Fermat esconde también un principio extremal, en la que hay una cantidad que en la mayoría de los casos se minimiza, pero en unos pocos casos excepcionales se maximiza. ¿Cuál es esa cantidad?

Hoy en día sabemos que el índice de refracción es igual al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de propagación de la luz en un medio dado: n = c/v. Por lo tanto, el producto de n•s en los sumandos de la expresión de arriba se corresponde con los tiempos empleados en recorrer cada tramo.

O sea, la cantidad que se minimiza (o mejor dicho, se extrema, ya que en ciertas circunstancias inusuales se maximiza) es el tiempo que emplean los rayos de luz para ir de un punto a otro.

En otras palabras, la luz no pierde el tiempo.

El principio de Fermat es sumamente importante porque fue el primer principio extremal que se planteó para explicar una ley física. El principio de Fermat es un principio de mínima acción (donde la acción es el camino óptico). El principio de mínima acción (para diferentes tipos de acciones) ha sido posteriormente utilizado para explicar otras muchas leyes de la Física General.

LA PRIMERA MÁQUINA CALCULADORA

Imagínate el ingente esfuerzo que tuvo que realizar Johannes Kepler para hacer a mano los cálculos de los ajustes a círculos de los datos astronómicos recopilados por Tycho Brahe correspondientes a la órbita de Marte, a un nivel de precisión tal que le permitiera apreciar un error de ocho minutos de grado, lo que le llevó a repetir el proceso utilizando elipses. Aún se quedaron cortos los casi 20 años que tardó en completar sus investigaciones.

No es de extrañar pues que los pensadores de la época ya se estuvieran planteando la posibilidad de utilizar máquinas que les hicieran más llevadera la búsqueda de respuestas científicas.

Y ahí apareció el ingenio de Gottfriend Leibniz. El hombre considerado como el inventor del lenguaje binario y de los esquemas gráficos, creó la primera máquina mecánica capaz de realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. O en otras palabras, fue el creador del núcleo primogénito de los futuros ordenadores, la esencia del bloque lógico que viene incorporado y es la base de cualquier CPU moderna y que se conoce con el nombre de unidad aritmético-lógica (ALU).

Pincha en este enlace si quieres ver un vídeo original de una réplica de la rueda de paso que es la base de la máquina Stepper Reckoner inventada por Leibniz hecha con las piezas del juego Leggo.

CONTRIBUCIÓN A LA ÓPTICA DE RENÉ DESCARTES

Snell estudió la refracción de la luz de forma experimental incorporando el concepto de índice de refracción cogiendo el testigo que dejaron los árabes e incluso Aristóteles muchos siglos atrás. Pero fue Descartes quien las anunció de forma meticulosa y precisa, publicándola junto a otros resultados, como su detallado estudio del ojo humano, en su libro DIOPTRICA. Sin embargo, no se encontraría una explicación de las mismas hasta que Fermat formulara su principio de mínima acción aplicado al tiempo empleado en el camino óptico.

CURIOSO EFECTO ÓPTICO DE LA LEY DE LA REFRACCIÓN

Hay experiencias sencillas que ponen de relieve importantes leyes de la Física. Este es el caso que podemos ver en este vídeo, en el que sobran las palabras, en el que podemos apreciar una curiosa consecuencia de la Ley de la refracción de Snell-Descartes.

COORDENADAS CARTESIANAS

Descartes fue el primero en imaginar que un par de rectas perpendiculares podrían ayudar a visualizar la forma en la que dos magnitudes dependen entre sí. Distribuyendo sobre cada recta una escala numérica, cada par de puntos (x, y) puede encontrar su lugar en el plano. Y cada función algebraica puede encontrar su correspondiente representación gráfica.

En este marco se podría desarrollar el estudio de funciones de forma sistemática y analítica, incluyendo la búsqueda de máximos y mínimos, tan importantes para la Física, sobre todo a partir de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo diferencial e integral que permitía hallar la recta tangente a una curva en un punto dado. Esto sí que fue un verdadero punto de inflexión.

DESCARTES: PIENSO LUEGO EXISTO

La paciencia es la madre de la ciencia y Descartes es el padre del pensamiento racional.

El gran filósofo y científico francés fue en gran parte responsable de que la investigación científica pudiera seguir progresando sobre bases más sólidas. 

En el campo de la Física nos dejó como herencia las coordenadas cartesianas, un nuevo marco que ayudaría, y mucho, a estudiar muchas curvas conocidas, como las cónicas, desde otra perspectiva y con otra formulación [y =y(x)]. Sus trabajos ayudaron a tender un puente entre el Álgebra desarrollada por los árabes y la Geometría. Gracias a sus planteamientos se pudieron resolver muchos problemas geométricos, como intersecciones de rectas y planos, mediante la resolución de meros sistemas de ecuaciones algebraicas.

En el campo de la Física (en su tiempo conocida como Filosofía Natural) dio un giro muy importante a la visión aristotélica de la Naturaleza que daba especial importancia a propiedades como frío, calor, húmedo o seco. En cambio, Descartes propuso que los magnitudes físicas que debían tenerse en cuenta para estudiar un determinado sistema tenían que ser tales como el tamaño, la forma, la posición o el desplazamiento.

En el terreno de la Óptica contribuyó a la Ley de Snell con una interpretación de la misma que se basaba en la capacidad de transmitir de presiones de cada medio.

Su vida se empezó a definir cuando se alistó en el ejército para poder viajar y ver mundo (su única alternativa hubiera sido la vida eclesiástica). Allí conoció a quien fue su maestro (en aquella época el verdadero conocimiento debía preservarse y muy a menudo solamente se podía acceder al mismo entrando en contacto con personas pertenecientes a sectas que solamente lo transmitían de forma oral y tras haber superado ciertas pruebas de confianza) y despertó el interés por el conocimiento. Más tarde, en la biblioteca personal que heredó de su padre pudo encontrar los libros referentes del momento.

Descartes, el hombre que pensó, y luego existió, eligió Holanda para encontrar su madurez en un ambiente de paz y tranquilidad. Se sabe que además de tener gran interés por la investigación filosófica y científica, le gustaba realizar ejercicio físico, se alimentaba casi exclusivamente de frutas y vegetales, y mantenía que la mejor fórmula para mantener una salud de hierro era la combinación de una dieta saludable y descanso apropiado.