ARQUÍMEDES

Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo. Esta famosa frase se atribuye a la boca de Arquímedes. Este polifacético genio (físico, matemático, ingeniero, ...) del siglo III antes de Cristo está detrás de innumerables logros matemáticos y científicos en general.

Con Arquímedes sucede lo que en general se teme que haya sucedido con la gran biblioteca de Alejandría: que se haya perdido para siempre gran parte del conocimiento que desarrolló al haberse extraviado o destruido gran parte de su obra escrita. Pero como muestra este vídeo parte de la misma pudo ser recuperada y restaurada recientemente.

Algunas de sus principales contribuciones fueron:

• El tornillo hidráulico para bombear agua hacia arriba.

• El cálculo aproximado del número pi.
• El uso de aproximaciones sucesivas para calcular áreas y volúmenes de ciertas curvas y formas.
• La definición de la fuerza de empuje sobre un objeto debida cuenta del peso del volumen de fluido desalojado.
• Diferentes inventos para su uso en la guerra
• como sistema para enganchar y hacer volcar barcos desde lo alto de una muralla
• o un mecanismo para quemar barcos combinando el efecto de varios espejos (mito o realidad, es algo que no está demostrado)

Natural de Siracusa, en Sicilia, Arquímedes murió asesinado por un soldado romano. Aunque habían dado órdenes de no quitarle la vida es probable que pesara demasiado en el enemigo su contribución al desarrollo de la maquinaria bélica del imperio griego.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN

La forma práctica de encontrar los valores máximos o mínimos locales de una función es hallando su primera derivada y buscando para qué puntos es cero. En efecto, la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente (o inclinación) de la recta tangente a esa función en ese punto. Gráficamente es fácil visualizar de que justo dónde hay un máximo o un mínimo local, esta recta tangente es precisamente horizontal, con lo que su derivada tiene necesariamente que ser cero.

En el vídeo de arriba vemos como se definen matemáticamente los máximos y mínimos locales. En el vídeo de abajo vemos como se calcula de forma práctica los máximos y/o mínimos de una función.

COORDENADAS CARTESIANAS

Descartes fue el primero en imaginar que un par de rectas perpendiculares podrían ayudar a visualizar la forma en la que dos magnitudes dependen entre sí. Distribuyendo sobre cada recta una escala numérica, cada par de puntos (x, y) puede encontrar su lugar en el plano. Y cada función algebraica puede encontrar su correspondiente representación gráfica.

En este marco se podría desarrollar el estudio de funciones de forma sistemática y analítica, incluyendo la búsqueda de máximos y mínimos, tan importantes para la Física, sobre todo a partir de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo diferencial e integral que permitía hallar la recta tangente a una curva en un punto dado. Esto sí que fue un verdadero punto de inflexión.

DESCARTES: PIENSO LUEGO EXISTO

La paciencia es la madre de la ciencia y Descartes es el padre del pensamiento racional.

El gran filósofo y científico francés fue en gran parte responsable de que la investigación científica pudiera seguir progresando sobre bases más sólidas. 

En el campo de la Física nos dejó como herencia las coordenadas cartesianas, un nuevo marco que ayudaría, y mucho, a estudiar muchas curvas conocidas, como las cónicas, desde otra perspectiva y con otra formulación [y =y(x)]. Sus trabajos ayudaron a tender un puente entre el Álgebra desarrollada por los árabes y la Geometría. Gracias a sus planteamientos se pudieron resolver muchos problemas geométricos, como intersecciones de rectas y planos, mediante la resolución de meros sistemas de ecuaciones algebraicas.

En el campo de la Física (en su tiempo conocida como Filosofía Natural) dio un giro muy importante a la visión aristotélica de la Naturaleza que daba especial importancia a propiedades como frío, calor, húmedo o seco. En cambio, Descartes propuso que los magnitudes físicas que debían tenerse en cuenta para estudiar un determinado sistema tenían que ser tales como el tamaño, la forma, la posición o el desplazamiento.

En el terreno de la Óptica contribuyó a la Ley de Snell con una interpretación de la misma que se basaba en la capacidad de transmitir de presiones de cada medio.

Su vida se empezó a definir cuando se alistó en el ejército para poder viajar y ver mundo (su única alternativa hubiera sido la vida eclesiástica). Allí conoció a quien fue su maestro (en aquella época el verdadero conocimiento debía preservarse y muy a menudo solamente se podía acceder al mismo entrando en contacto con personas pertenecientes a sectas que solamente lo transmitían de forma oral y tras haber superado ciertas pruebas de confianza) y despertó el interés por el conocimiento. Más tarde, en la biblioteca personal que heredó de su padre pudo encontrar los libros referentes del momento.

Descartes, el hombre que pensó, y luego existió, eligió Holanda para encontrar su madurez en un ambiente de paz y tranquilidad. Se sabe que además de tener gran interés por la investigación filosófica y científica, le gustaba realizar ejercicio físico, se alimentaba casi exclusivamente de frutas y vegetales, y mantenía que la mejor fórmula para mantener una salud de hierro era la combinación de una dieta saludable y descanso apropiado.

ECUACIÓN DE UNA CÓNICA

La forma matemática auténtica de definir cualquier curva correspondiente con una sección cónica es como los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (foco) y a una recta dada (generatriz) tiene una razón constante. A esa razón se la denomina excentricidad (e).

• Para un círculo la excentricidad es 0. 
•  Para una elipse la excentricidad es siempre mayor que 0 y menor que 1.
• Para una parábola la excentricidad es exactamente igual a 1.
• Para una hipérbola la excentricidad es mayor que 1.

Pero en todos estos casos, tal como puede apreciarse en el vídeo, la curva cónica puede expresarse por una misma ecuación en coordenadas polares (una distancia radial y un ángulo).

Si utilizáramos coordenadas cartesianas entonces sí que obtendríamos una ecuación diferente para cada una.

SECCIONES CÓNICAS

Las secciones cónicas son generadas por la intersección de un plano con un cono.

• Si el plano es paralelo a la base del cono la sección resultante es un círculo.
• Si se inclina un poco el plano se obtiene una elipse.
• Si se inclina más que la propia generatriz del cono se obtiene una parábola.
• Y si se inclina aún más se obtiene una hipérbola.

EL CONO DE APOLONIO

Apolonio fue un filósofo griego que pasó a la Historia por haber descubierto cómo las cuatro curvas cónicas surgen en función del ángulo con el que se hace que un plano un cono.

LA ELIPSE

La elipse es una de las cuatro curvas cónicas y cumple la propiedad de que para cualquiera de sus puntos la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre la misma. Hay muchas situaciones en la Naturaleza que pueden ser descritas por elipses. La más importante de todas sea seguramente la órbita de los planetas alrededor el Sol.

LOS CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS

Los antiguos griegos descubrieron que solamente existen 5 posibles tipos de poliedros regulares diferentes: el cubo, el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. A estos sólidos regulares de aristas iguales se los denominó sólidos platónicos y se los concebía como una representación de la perfección de Dios. Es más, a cada uno de ellos se le hacía corresponder un elemento primordial según la teoría helena de los 4 elementos (tierra, agua, fuego y aire) más el éter.

EPICICLOS Y DEFERENTES

El mecanismo de los epiciclos y las deferentes fue el sistema que se ideó para que el movimientos de los planetas (palabra que en griego significa errante, ya que su movimiento no seguía los círculos que dibujaban las estrellas) no dejara de fundamentarse en círculos, muy importantes en la filosofía griega, ya que se consideraban perfectos. Y los griegos creían que el mundo celeste se tenía que basar en conceptos perfectos.

Ptolomeo basó su modelo geocéntrico astronómico utilizando de una manera anidada el mecanismo de los epiciclos. Pero como se puede ver en el vídeo de arriba hoy en día se puede demostrar que cualquier movimiento continuo puede explicarse si se utilizan más y más epiciclos. Círculos dentro de círculos dentro de círculos dentro de círculos, que no tienen ni un principio ni un final.

TRANSFORMADA DE FOURIER

La transformación de Fourier consiste en una operación matemática con cierto grado de dificultad, ideada por el matemático francés del que heredó el nombre, que básicamente se obtiene como una extrapolación de la serie de Fourier para una onda de periodo infinito, y cuyo resultado es una función que depende de la frecuencia.

El estudio de las transformadas de Fourier se corresponde normalmente a un segundo curso de Ingeniería Electrónica o de Telecomunicaciones, por lo que en este blog nos conformamos por ahora en introducirla por el interés que puede tener su interpretación física.

De alguna manera la transformada de Fourier nos ofrece un punto de vista completamente diferente al convencional. Normalmente nos resulta más intuitivo ver las cosas como dependen con el tiempo. Pero cuando hablamos de ondas o señales eléctricas, muy a menudo se ve con más claridad si nos vamos al 'lado oculto' e intentamos obtener una representación gráfica en función de la frecuencia.

La Transformada de Fourier de una señal temporal nos da la señal correspondiente en el dominio frecuencial. 

En la práctica, los ingenieros aprenden a operar con transformadas de Fourier utilizando unas tablas que vienen a parecerse a las que se utilizan para calcular derivadas o integrales. 

La idea es que con haciendo transformadas y antitransformadas de Fourier podemos obtener representaciones equivalentes entre los dos espacios duales cuyo eje horizontal es el tiempo y la frecuencia. De hecho hay tal dualidad se manifiesta en muchas de las propiedades de esta transformación. Por ejemplo, cuanto más ancha sea una señal en un espacio, más estrecha lo será en el dual, y viceversa.

SERIES DE FOURIER

En este vídeo se muestra un ejemplo de cálculo de los coeficientes que se corresponden con la serie de Fourier de una onda periódica cuadrada. En el vídeo podemos ver las expresiones matemáticas utilizadas y consideraciones que pueden simplificar el proceso de cálculo, así como obtener una visión más intuitiva del mismo.

ANÁLISIS DE FOURIER

Cuando nos disponemos a estudiar los fenómenos ondulatorios damos con el hecho de que hay un tipo de onda que podemos etiquetar como 'ideal'. Esta es la onda sinusoidal. La función matemática que la describe ofrece la solución más sencilla a la ecuación diferencial de una onda. Pero no la única...

De hecho, cuando escuchamos la misma nota musical proveniente de una guitarra eléctrica o de una flauta, ¿qué es lo que las distingue? Si ambos tonos se correspondieran únicamente con una única función sinusoidal, sonarían igual...

El matemático francés Jean Baptiste Fourier ideó a principios del siglo XIX un mecanismo a través el cual cualquier función periódica, sea cual sea su forma, puede ser descompuesta en una suma infinita de funciones sinusoidales. A este desarrollo se le conoce como serie de Fourier.

En la serie (finita o infinita) de Fourier, al término que se corresponde con la frecuencia más baja se le denomina fundamental y normalmente es el que tiene una amplitud o contribución mayor. A partir de ahí aparecen otros términos cuyas frecuencias son múltiplos directos de la fundamental y que se conocen como armónicos. Normalmente, conforme va aumentando la frecuencia de los armónicos de una serie de Fourier, su peso o contribución al sumatorio total, es cada vez menor.

Tanto el tono de la guitarra como el de la flauta tienen la misma frecuencia fundamental, pero se distinguen en el número de armónicos y su intensidad.

Una forma alternativa de visualizar una onda es precisamente desde el punto de vista frecuencial; es decir, representando en un gráfico la intensidad de su frecuencia fundamental y todos sus armónicos. A esta representación se la conoce como espectro de frecuencias y en la actualidad puede verse utilizando un equipo electrónico (un poco caro, por cierto) que se conoce como analizador de espectros.

Si se hace tender el periodo de la función periódica cuya serie de Fourier se pretende obtener a infinito (con lo cual deja de ser periódica) entonces la serie deja de tener una representación de valores discretos (múltiplos de la frecuencia fundamental) y se torna continua, normalmente quedando delimitada a un rango de frecuencias. Esto se conoce como transformada de Fourier.

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

El rotacional de un campo vectorial es una operación matemática que nos dice si un campo vectorial está localmente girando o no y el grado en el que lo hace.

El vídeo de arriba nos ayuda a entender este concepto aplicándolo al campo vectorial asociado al desplazamiento del agua de un río. Lo más relevante es que el rotacional de un campo vectorial es siempre perpendicular al mismo y es nulo si el campo en un punto dado no está rotando localmente.

NOTA: el vídeo es en inglés y el rotacional es referido como Curl.

En vídeo de abajo es más formal y nos muestra cómo obtener a partir de la definición del rotacional la expresión matemática para calcularlo.

Esta es la expresión matemática con la que se puede calcular:

Sin necesidad de entrar muy a fondo en los detalles, enlazando con el primer vídeo que se presenta arriba, es intuitivo observar que el campo rotará localmente si en un punto dado la componente 'x' varía con 'y' y la componente 'y' varía con 'x'. Al considerar el cálculo en tres dimensiones aparecen tres términos con la resta de dos derivadas parciales cruzadas, lo cual es lo equivalente a lo referido anteriormente.

Se da la circunstancia de que esta expresión se puede compactar colocando adecuadamente los términos en un determinante 3 x 3, el cual es un elemento del álgebra que se utiliza para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices.

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

Los campos son simplemente funciones matemáticas que describen el comportamiento de ciertas variables en el espacio y en el tiempo. Cuando estos campos no dependen del tiempo, se denominan estacionarios.

Los campos escalares son aquellos que a cada punto del espacio le asignan un valor numérico; por ejemplo, la altura en una montaña o la temperatura en una habitación.

Los campos vectoriales asocian a cada punto del espacio un vector, de forma que les corresponde un módulo o intensidad y una dirección y sentido. El caso más sencillo de imaginar es el campo vectorial que describe la velocidad del agua para un punto dado de un río.

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

El gradiente de un campo escalar nos da un campo vectorial que nos dice en cada punto hacia donde se dirige el mayor cambio posible del campo escalar en función de las variables de las que depende.

En particular, si imagináramos una montaña completamente lisa y libre de obstáculos, el gradiente del campo escalar que describe la superficie de la montaña, nos daría en cada punto, el vector que indica hacia adonde se dirigiría una pelota que dejáramos caer sin impulso inicial libremente cuesta abajo.

De alguna manera el gradiente nos da la forma más rápida y directa de ascender o descender a través de un campo escalar, como puede ser una montaña. Pero es igualmente aplicable a campos escalares de dimensión tres, como puede ser la función que describe le distribución de la temperatura en un espacio dado.

En todos los casos el gradiente tiene la propiedad de ser siempre perpendicular a las curvas o superficies equiescalares; curvas de nivel en el caso de la montaña o superficies isotérmicas (misma temperatura) en el caso de la temperatura de una habitación.

Cuando vemos en el espacios de previsión meteorológica la previsión del tiempo, suelen mostrarse mapas con las líneas isobaras; o sea, líneas que están a la misma presión. Cuando las isobaras están muy juntas se dice que el gradiente de presión es muy grande, lo que puede provocar fuertes vientos.

NÚMEROS COMPLEJOS

Argand, Cauchy, Euler o Gauss, fueron los principales acreedores del surgimiento de un nuevo y extraño tipo de números en las Matemáticas: los números complejos. Estos números también recibieron el nombre de "imposibles" y su teoría se definió y pulió principalmente durante el siglo XIX.

La principal característica de los números complejos es que tienen dos partes: una real y otra imaginaria:

z = a + bi

donde 'a' es la parte real,

          'b' es la parte imaginaria,

       e 'i' elevado al cuadrado es igual a -1, lo cual es teóricamente imposible tal cual se conciben los   
       números extendidos sobre la recta real.

Sin embargo estos números resultaron de enorme utilidad, en parte porque su producto se corresponde con rotaciones en el plano.

Es sorprendente que en Matemáticas, una de las ramas del conocimiento más basadas en la lógica y la razón, haya unos números y una completa teoría alrededor de ellos, cuya principal característica es que tengan una componente imaginaria y cuyas operaciones se basen en un término imposible.

En el vídeo se exponen las dos principales formas de expresar los números complejos: con una parte real y una imaginaria o con un módulo y un argumento. Ambas expresiones se pueden representar en el plano complejo, el cual surge a propuesta de Gauss al añadir como eje vertical el término correspondiente a la parte imaginaria.

KARL FRIEDRICH GAUSS

Por muchos considerado como el príncipe de las Matemáticas, Karl Friedrich Gauss nació en el estado e Brunswick (la actual Alemania) en el año 1777 en el seno de una humilde familia campesina. Su condición de niño prodigio despertó en sus profesores el sentido de que estaban ante un genio con lo que se le buscó el mecenazgo para que pudiera seguir ampliando sus estudios en el instituto y luego en la Universidad.

Es prácticamente innumerable el número de contribuciones de Gauss a las Matemáticas. En algunos campos resolvió a edad temprana problemas que llevaban más de 2.000 años aguardando a ser resueltos. Gauss tuvo importantes aportaciones en campos tan diversos como la teoría de números, la geometría diferencial, el análisis matemático, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica.

En el campo de la Física, a Gauss se le conoce sobre todo por sus aportaciones a la Electrostática y al Magnetismo, en los que facilitó una herramienta para sintetizar sus leyes a partir del flujo a través de una superficie cerrada. No en vano, una de las unidades de medida del campo magnético es el Gauss. También se le conoce por la aportación de la curva de distribución normal frecuentemente utilizada en Física Nuclear para el cálculo de tiempos de vida medios.

En el vídeo adjunto a esta entrada, de la colección El Universo Matemático, se nos presentan algunos de los principales hitos del genio matemático. Quizás, por su importancia práctica, el que más destaque de todos ellos sea el de incluir el eje imaginario en el plano complejo para representar todas las soluciones posibles de un polinomio de grado n. Es por eso que la mente abierta e iluminada de Gauss fue fundamental para poder pasar de lo real a lo imaginario.

TEOREMA DE GAUSS

El Teorema de Gauss de la Electrostática establece que el flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada en su interior partido por la permeabilidad eléctrica en el vacío.

El hecho es que este teorema aplica para todas aquellas fuerzas que decrecen con el cuadrado de la distancia. Lo que ocurre para estas fuerzas es que donde sea que obtengamos el flujo el tamaño de la superfície a tener en cuenta habrá aumentado en la misma relación que habrá disminuido la intensidad del campo, ya que el area de una superficie esférica aumenta con el cuadrado de la distancia. Así, el flujo, al depender tanto del campo como de la superficie, se mantiene constante y el valor de esta constante para el caso concreto del campo eléctrico es igual a la carga total encerrada partido por la permeabilidad eléctrica, tal como se puede apreciar en el vídeo de abajo.

En realidad, el teorema de Gauss puede expresarse matemáticamente en dos formas diferentes: integral o diferencial. En la primera, se tiene en cuenta cualquier superficie para calcular el flujo neto a través de ella, integrando. En la segunda, se aplica el concepto de divergencia al campo eléctrico para obtener el flujo a través de una superficie cerrada infinitamente pequeña alrededor de un punto dado.

En ambos casos el teorema de Gauss no ofrece si no otro punto de vista desde el que plantear la Ley de Coulomb, pues ambas son absolutamente equivalentes, pudiendo pasar de una a la otra. Además, para ciertos casos particulares, donde se dan determinadas condiciones de simetría, el teorema de Gauss resulta ser una herramienta de utilidad para el cálculo de campos eléctricos, cuando obtenerlos por integración sería más complicado y engorroso.

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

 

La divergencia es un operador matemático que aplicado a un campo vectorial da cuenta de flujo neto de líneas de campo que pasa a través de una superficie cerrada cualquiera alrededor de un punto dado. Para el cálculo de ese flujo neto se considera que las líneas de campo entrantes a la superficie tienen una aportación negativa al flujo, y las salientes tienen una aportación positiva.

Teniendo lo anterior en cuenta, veamos un par de ejemplos en los que puede resultar intuitivo el carácter de la divergencia de un campo vectorial:

1. Campos centrales alrededor de un punto generador de campo (fuente): este es el caso que se corresponde con la ilustración de arriba a la izquierda. En este caso, dado que la superficie cerrada incluye en su interior a la/s fuente/s creadora/s del campo, es seguro que todas las líneas de campo que atraviesen la superficie lo harán de adentro hacia afuera. Por lo tanto, podemos asegurar que en este caso tendremos siempre un flujo neto total positivo. Si en lugar de incluir en su interior a la/s fuente/s del campo, incluyera a sumidero/s, adónde se dirigen tales líneas de campo (cargas negativas, para el campo eléctrico), entonces el flujo neto total sería negativo.
2. Campos giratorios: este es el caso que se corresponde con la ilustración de arriba a la derecha. Resulta bastante intuitivo en este caso observar que para campos giratorios, como puede ser el caso del campo magnético donde todas líneas son siempre cerradas o el asociado a una turbulencia de un fluido, sea un río o en la atmósfera, si consideramos un pequeño volumen que incluya el eje de rotación de esta turbulencia (ese eje de rotación puede coincidir con una corriente rectilínea, por ejemplo, que es la propia creadora del campo), entonces entraran a través de la superficie que encierra ese volumen tantas líneas de campo como saldrán. Dado que las líneas de campo son en este caso cerradas, si entran al volumen considerado, es seguro que saldrán también, de forma que el balance total nos dé un flujo neto nulo siempre.

Por cuestiones de rigor, se aporta finalmente la definición formal para la divergencia de un campo vectorial, así como la expresión práctica para su cálculo cuando tenemos un campo vectorial expresado en sus coordenadas cartesianas habituales (con los vectores unitarios y ortogonales i-j-k asociados a los ejes de referencia x-y-z).