EFECTOS DEL PRINCIPIO DE HUYGENS

Tal y cómo puede apreciarse en este vídeo, una de las consecuencias más sorprendentes del principio de Huygens es que un frente de ondas pueda atravesar una serie de obstáculos con rendijas no alineadas y llegar al otro lado.

CHRISTIAAN HUYGENS

Huygens fue un célebre científico holandés que vivió durante el siglo XVII. En esa época, el oro y la plata de América llegaban al puerto de Sevilla desde dónde se vendía al resto de Europa. Mientras el imperio español, dónde nunca se ponía el Sol, se limitaba a vivir a expensas del sometimiento de sus colonias, sin ningún beneficio para su población, los países centroeuropeos renacían con una nueva mentalidad, más austera, mercantilista y emprendedora, quizás bajo la influencia del luteranismo y el protestantismo.

En este contexto en Holanda nacería y se desarrollaría con fuerza la industria de la relojería. Y en ese marco, en el seno de una familia aristócrata bien acomodada, nacería Christian Huygens, el protagonismo de la entrada de hoy.

Podemos decir que Huygens tuvo su vida encarrilada desde muy jovencito. Su padre le procuró una esmerada educación individualizada con los mejores profesores privados. Además tuvo la oportunidad de conocer a René Descartes, quien acudía a menudo a su casa, dejando una importante influencia sobre él.

En el campo de la tecnología, Huygens pasó a la historia como el inventor del primer reloj de péndulo. 

Pero donde la contribución de Huygens tuvo mayor peso desde una perspectiva histórica fue sin duda por su contribución a la Óptica. En particular, a Huygens le debemos el principio que lleva su nombre, por el que se anuncia claramente que la naturaleza intrínseca de la luz es ondulatoria.

Huygens fue contemporáneo de Newton y, de hecho, ambos coincidieron en la Royal Society inglesa, donde mantuvieron acaloradas discusiones. Muy conocida es la controversia que mantuvieron al respecto de la naturaleza esencial de la luz, pues Newton sostenía que debía ser corpuscular. Es decir, Newton estaba convencido que la luz estaba compuesta por partículas fundamentales o corpúsculos mientras que Huygens defendía que la luz era una onda. 

NOTA: La teoría ondulatoria de Huygens no pudo ser certificada definitivamente de forma experimental hasta el siglo XIX, aunque hubo con anterioridad  varios experimentos que apuntaban ya hacia su validez. Sin embargo, a principios del siglo XX, una serie de experimentos que acompañaron el nacimiento de la Física Cuántica, demostrarían que también era cierto que la luz tenía carácter corpuscular, acuñándose la expresión "dualidad onda-corpúsculo" para definir la naturaleza esencial de la luz.

Siguiendo las corrientes de su tiempo, Huygens también realizó estudios en Óptica geométrica, aprendiendo a tallar lentes para montar telescopios y realizar observaciones astronómicas. A este fin le ayudó nada más y nada menos que el gran filósofo Spinoza. Este trabajo dio como fruto el descubrimiento de los anillos de Saturno y su luna Titán.

En fin, no hay como tener buenos padrinos y nacer en el lugar adecuado en el momento oportuno.

PRINCIPIO DE HUYGENS

El principio de Huygens arroja una visión de los frentes de onda que permite explicar de forma intuitiva diferentes fenómenos ondulatorios como lo son la reflexión, la refracción y la difracción de ondas.

Esencialmente Huygens concibió los frentes de ondas como zonas del espacio en las que cada punto se comportaba a su vez como un emisor de ondas secundario, de suerte que las ondas re-emitidas tendrían la misma frecuencia y longitud de onda (por lo tanto la misma velocidad), aunque menos amplitud en virtud de la disminución de la misma con la distancia.

Lo que comúnmente ocurre es que las ondas producidas por estos focos secundarios, que se corresponden con todos los puntos de un mismo frente de ondas, interfieren de tal manera que solamente se produce una interferencia constructiva para todos los puntos que se corresponden con posteriores frentes de ondas. En cualquier otro punto, la interferencia de las ondas provenientes de todos esos puntos es destructiva, dando como resultado una intensidad nula.

Eso es lo que sucede en el espacio abierto. Pero cuando lo que ocurre es que la onda se encuentra con un obstáculo, una parte se refleja y otra se refracta. Y cuando se encuentra con una abertura o rendija en medio de un obstáculo, entonces se produce un patrón de difracción.

El patrón de difracción solamente es apreciable cuando la longitud de la rendija es comparable con la longitud de onda de la onda incidente y puede explicarse de forma descriptiva aplicando el principio de Huygens.

PATRONES DE DIFRACCIÓN

El fenómeno de la difracción se produce cuando un frente de ondas se encuentra con un obstáculo o una rendija en su camino. El efecto de este fenómeno ondulatorio es la emergencia de unos patrones de difracción que ponen de manifiesto la aparición de zonas donde se producen máximos de intensidad más allá de lo que uno podría esperar por la alineación del foco emisor con la rendija.

La primera teoría que consiguió explicar este fenómeno se conoce como principio de Huygens, que consiste básicamente en considerar cada uno del los puntos del espacio localizados en la zona de la rendija como fuentes emisores secundarias de la misma frecuencia que la onda incidente. De forma que la aplicación del principio de superposición a las ondas generadas por tales emisores secundarios dará lugar a un fenómeno de interferencia conjunta que deriva en los susodichos patrones de difracción.

Para la obtención de las expresiones matemáticas exactas que describen los patrones de difracción de una rendija rectangular o circular es preciso cierto dominio de cálculo de integrales definidas o en su defecto la aplicación de transformadas de Fourier.

Los patrones de difracción han sido una valiosísima herramienta para el descubrimiento experimental de importantísimos hitos científicos, como son la naturaleza ondulatoria de la luz, la confirmación de la naturaleza ondulatoria de las partículas constituyentes de la materia o la determinación de la estructura en doble hélice de la molécula de la vida, el ADN.

FENÓMENOS ONDULATORIOS

Las ondas se distinguen no solamente por las magnitudes que les son propias, como la amplitud, la frecuencia o el número de ondas, sino también por una serie de fenómenos que las distinguen de forma exclusiva. Éstos son:

• La reflexión
• La refracción
• La interferencia
• La difracción

REPASO PRÁCTICO DE ONDAS ESTACIONARIAS

La ondas estacionarias son la base en la que se fundamentan los instrumentos musicales y una valiosa herramienta para obtener de forma experimental la velocidad de propagación de una onda en un medio dado.

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIA

La intensidad del sonido en el interior de un tubo de Kundt alcanzará máximos y mínimos en diferentes puntos dependiendo de la frecuencia del tono inyectado en el mismo y de la longitud del medio en el que se propaga antes de reflejarse. Esta longitud se puede ajustar utilizando un émbolo móvil.

Esto puede utilizarse como técnica, basada en le percepción auditiva para detectar los puntos en los que se encuentran los vientres y los nodos para cada frecuencia, y de ahí deducir la velocidad de propagación del sonido igual que se puede hacer con bolitas de porexpan.

La onda de intensidad oscila entre un máximo de amplitud 2A y 0, mientras la onda incidente y la reflejada oscilan entre -A y A.

ONDAS ESTACIONARIAS EN UN CÍRCULO

Este vídeo es muy interesante porque muestra como se crean ondas estacionarias en un círculo. Esto es lo que propuso el modelo atómico de Bohr que le pasaría al electrón alrededor del átomo, lo que conllevó la postulación del primer principio de cuantización atómica.  Por lo tanto, esta es la piedra angular sobre la que nació la Física Cuántica.

Como se puede apreciar en el vídeo solamente puede existir un número discreto de valores de longitudes de onda que mantengan ondas estacionarias en un círculo. La consecuencia inmediata de ello a nivel atómico es que el electrón tiene que ser una onda!!!

TUBO DE KUNDT

 

En tubo de Kundt es un tubo de vidrio de forma cilíndrica que clásicamente se utiliza para la visualización de ondas estacionarias de sonido. Lo que permite ver la forma de tales ondas, con sus nodos y sus vientres, es la disposición de pequeñas partículas en su interior, ya sea algún tipo de producto espolvoreado o bolitas de porexpan.

La cuestión es que en su interior tengamos un tipo de material sólido muy pequeño que sea sensible a las variaciones de presión ejercidas por las ondas, de forma que se disponga en función de ello y permitan su visualización indirecta.

 

MEDICIÓN DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO CON ONDAS ESTACIONARIAS

La velocidad del sonido se puede medir con un experimento en el que se producen ondas estacionarias de sonido en el interior de un tubo de Kundt. La técnica es bastante sencilla. Se disponen en el interior del tubo unas limaduras de arena o tierra en polvo o unas bolitas de un material muy ligero. Con un generador de audio se produce un tono audible cuya frecuencia se selecciona a voluntad.

Si la intensidad del tono audible es suficiente y la relación entre su frecuencia y la longitud del tubo es la propia para que se produzcan ondas estacionarias, las motas de polvo o las bolitas irán distribuyéndose en un patrón que mostrará los puntos en los que se localizan los nodos y los vientres.

En este patrón se puede medir la longitud de onda del sonido generado. Conociendo la longitud de onda y la frecuencia podemos calcular fácilmente la velocidad de propagación del sonido.

En este experimento las ondas estacionarias son las propias de un medio abierto por un extremo y cerrado por el otro. Es decir, el lado al que se conecta el altavoz que emite el sonido está abierto y en el mismo habrá siempre un vientre. Mientras que en el extremo opuesto hay siempre una superficie de separación (a veces el propio recipiente, otras un cambio de medio como puede ser agua) en la que se refleja la onda y donde siempre se encuentra un nodo.

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

El número de nodos (puntos de amplitud nula) y vientres (puntos de amplitud máxima igual a 2A), así como su posición a lo largo de una cuerda, depende de si en la generación de ondas estacionarias se realiza aplicando la frecuencia fundamental o cualquiera de sus armónicos (n). La posición de los mismos puede deducirse a partir de la ecuación de una onda estacionaria tal y como se ve abajo.

La distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos será siempre igual a la mitad de la longitud de onda. De igual manera, la distancia entre un nodo y un vientre consecutivo será siempre igual a la cuarta parte de la longitud de onda.

Estas relaciones son válidas para ondas estacionarias en una cuerda o cualquier otro medio en el que ambos extremos estén fijos o cerrados, como puede ser también un tubo de Kundt.

En todos estos casos la relación entre la longitud de ondas y la longitud del medio será: λ = 2L/n.

GENERADOR DE ONDAS ESTACIONARIAS

Un generador de ondas estacionarias permite seleccionar las frecuencias apropiadas para que se produzcan ondas estacionarias en una cuerda de forma que su semilongitud de onda sea un submúltiplo de la longitud de la misma.

ECUACIÓN DE UNA ONDA ESTACIONARIA

Lo único que hay que hacer para obtener la ecuación de una onda estacionaria es aplicar el principio de superposición con la onda incidente y la reflejada, el valor de cuyos parámetros es exactamente el mismo, sólo distinguiéndose por el signo que pone de relieve la dirección en la que se propagan:

• + hacia la izquierda
• - hacia la derecha

Lo que se obtiene es un valor de la amplitud que depende de la posición oscilando según un término temporal que depende de la frecuencia. Tal amplitud muestra unos valores máximos (vientres) y nulos (nodos) para ciertas posiciones en función del número de onda.

CÓMO GENERAR ONDAS ESTACIONARIAS

Para generar ondas estacionarias en un medio necesitamos que se cumpla una relación específica entre la frecuencia con que actúa la acción perturbadora que genera las ondas  y la longitud del medio por el que se van a propagar interfiriendo con las ondas reflejadas.

A partir de la frecuencia y la velocidad de propagación de las ondas en el medio considerado se puede obtener la relación entre la longitud de ondas y la longitud total del medio que desemboca en la constitución de ondas estacionarias. Tal condición se verifica para un número infinito de valores discretos de longitudes de ondas que son:

• múltiplos de la mitad de la longitud de onda para medios con ambos extremos cerrados (o fijos).
• múltiplos de la mitad de la longitud de onda más una cuarta parte de la misma para medios con un extremo cerrado y un extremos abierto.

ONDAS ESTACIONARIAS

Las ondas estacionarias se producen cuando una onda viaja en un medio hasta un punto en el que es reflejada, de suerte que la onda incidente y la reflejada interfieren de tal forma que se crea un patrón fijo en el espacio de puntos donde hay máximos y mínimos. Los máximos se dan donde la interferencia es siempre constructiva y los puntos en los que se producen se denominan vientres. Los mínimo se dan donde la interferencia es siempre destructiva y los puntos en los que se producen se denominan nodos. En los nodos la amplitud de la onda es nula.

La condición sin-ecuanum para que haya ondas estacionarias es una relación geométrica entre la longitud de onda y la distancia entre el punto donde se generan las ondas y el punto en el que se reflejan. El resultado de esta condición es una serie de valores discretos de longitudes de onda. Cualquier longitud de onda que verifique esta condición dará pie a ondas estacionarias. Esto conduce a que variando la frecuencia de la perturbación que genera las ondas encontremos ciertos valores para los que éstas sean estacionarias.

Hay dos escenarios generales en los que se pueden producir ondas estacionarias. El primero es aquel en el que los dos extremos del medio de propagación se corresponden con un nodo. El más claro ejemplo de ello es una cuerda fija por los dos extremos. Este es el caso que vemos en el vídeo que acompaña a esta entrada. El segundo escenario es aquel en el que el medio de propagación presenta en un extremos un nodo y en el otro un vientre. Un ejemplo es un tubo que tiene una superficie límite por un extremo pero está abierto por el otro.

Dependiendo de si consideramos un medio con los dos extremos fijos o un extremo abierto la relación entre la longitud de onda y la longitud total para que se produzcan ondas estacionarias cambiará.

Las ondas estacionarias son las que están detrás de la reverberación que genera los sonidos característicos de los instrumentos musicales. También son imprescindibles para comprender el principio que daría pie a la primera cuantización de la Física Cuántica.

VELOCIDAD DE FASE EN UN MEDIO DISPERSIVO

La velocidad de fase es ω/k. Esta relación se encuentra completamente en consonancia con la velocidad de fase de una onda pulsante en el límite cuando las frecuencias de las dos ondas interferentes están infinitamente cercanas, ya que para ese caso, la frecuencia media y el valor medio del número de ondas coincide con los de partida.

La velocidad de fase es siempre superior a la velocidad de grupo. Además, llama poderosamente la atención de que, en ciertos casos, la velocidad de fase puede llegar a ser superior incluso a la velocidad de la luz en el vacío. Esto puede dar que pensar que se está violando uno de los principios más importantes de la Física, ya que según la Teoría de la Relatividad, no es posible superar la velocidad de la luz en el vacío. Sin embargo, cabe matizar que tal limitación solamente se aplica a la velocidad a la que puede enviarse información y, por lo tanto, energía. Es decir, la Relatividad nos dice que no es posible enviar información a una velocidad superior a la velocidad de la luz. En un medio dispersivo, la fase de la onda pulsante no puede nunca mandar información. En cambio, se considera que toda la energía y cualquier tipo de información que se pueda transmitir con ella, viajará con la velocidad de grupo.

VELOCIDAD DE GRUPO EN UN MEDIO DISPERSIVO

La velocidad de grupo en un medio dispersivo puede ser hallada extrapolando la expresión que se obtiene las dos ondas que tienen una frecuencia infinitamente cercana interfieren. En ese límite, la expresión en diferencias de la velocidad grupo para una onda pulsante se convierte, por definición, en una derivada de la velocidad angular con respecto al número de ondas.

NOTA: Téngase en cuenta que la expresión que se encontró para una onda pulsante venía en términos de la frecuencia (inversa del periodo) y número de ondas (inverso de la longitud de ondas). La expresión de arriba es equivalente ya que añade un factor 2π tanto al numerador como al denominador.

Para poder obtener la velocidad de grupo es preciso conocer la relación de dispersión.

RELACIÓN DE DISPERSIÓN

La función ω(k) que da cuenta de cómo depende la velocidad angular con el número de ondas se conoce como relación de dispersión. En los medios dispersivos, la relación de dispersión da cuenta de la velocidad de grupo, que al arrojar un valor diferente para cada valor de k lleva a que la onda envolvente de un paquete de ondas se expanda, dispersándose.

ONDAS. MEDIOS DISPERSIVOS.

En un medio dispersivo la velocidad de propagación de las ondas depende de la longitud de onda de las mismas. Si tenemos un paquete de ondas que contiene varios tonos o frecuencias fundamentales (cualquier onda se puede descomponer en tales por las transformadas de Fourier), cada una de estas componentes viajará a una velocidad diferente. La consecuencia es que el paquete se irá dispersando; es decir, cada vez estará menos concentrado en el espacio y dará la sensación de agrandarse e irse distorsionando.

El grado en el que esto puede ocurrir viene dado por la relación de dispersión

VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO DE UNA ONDA PULSANTE

La velocidad de fase es la que se corresponde con la onda pulsante de una pulsación. Su valor puede ser hallado a partir de la frecuencia y número de ondas que le corresponden.

La velocidad de grupo es la que se corresponde con la envolvente y su valor puede ser deducido a partir de la frecuencia y número de ondas de la onda modulada de la pulsación.

PULSACIONES

Es difícil encontrar en la Naturaleza fuentes de emisión de ondas de una frecuencia pura. Es más usual que una misma fuente varíe un poco la frecuencia de emisión dando pie a trenes de ondas que se componen de tonos ligeramente diferentes. Cuando dos o más ondas con frecuencias diferentes interfieren se producen pulsaciones. Tales pulsaciones son más claras cuanto más cercanas estén las frecuencias de las ondas individuales entre sí.

Para obtener la expresión que da cuenta de una pulsación no hay más que aplicar el principio de superposición de la misma forma que se hizo para obtener la fórmula para la interferencia de ondas armónicas. Lo único es que en este caso lo que cambia es la frecuencias (y por lo tanto la longitud de onda y el número de ondas k también). Para simplificar lo habitual es considerar que la amplitud de las ondas es la misma.

Al final el resultado de una pulsación es el producto de dos ondas:

• una onda pulsante: que oscila con una frecuencia que se corresponde con la media aritmética de la de las dos ondas originales.
• una onda modulada: que envuelve a la anterior, modificando su amplitud entre cero y un valor máximo. Este máximo se alcanza cuando ambas ondas llegan a estar en fase. Y el mínimo se produce cuando están en oposición de fase. La frecuencia de la onda modulada es igual a la diferencia de la de las dos ondas originales entre dos. Por lo tanto, la onda modulada tiene siempre una frecuencia mucho menor que la pulsante.

INTERFERENCIAS CONSTRUCTIVAS Y DESTRUCTIVAS

Cuando en un punto dado del espacio interfieren dos ondas armónicas lo que vaya a suceder va a depender de la diferencia de fase con que lleguen las ondas a ese punto.

Si ambas ondas llegan en fase, la onda resultante tendrá una amplitud máxima igual a la suma de las amplitudes de las ondas individuales. Se producirá una interferencia constructiva. Esto es lo que ocurre cuando la relación entre las distancias a los focos emisores y la longitud de onda es:

Si ambas ondas llegan en oposición de fase (cuando una alcance un máximo la otra pasará por un mínimo y viceversa) la onda resultante tendrá una amplitud mínima igual al módulo de la diferencia de las amplitudes de las ondas individuales. Se producirá una interferencia destructiva. Esto es lo que ocurre cuando la relación entre las distancias a los focos emisores y la longitud de onda es:

Lo que tenemos tanto para las interferencias constructivas como para las destructivas es una relación en la que la diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. Esos puntos fijos se comportan como los focos de una hipérbola, por lo que los puntos dónde haya respectivamente máximos y mínimos de intensidad se corresponderán con las ramas de hipérbolas en un plano o superficies de hiperboloides en el espacio.

Si las ondas que interfieren no son armónicas, como consecuencia de su interferencia se producirán pulsaciones. La onda resultante tendrá un término que dependerá de forma armónica de la suma de las frecuencias de las ondas individuales y otro que dependerá de su diferencia. El resultado es una onda embebida dentro de otra, modulándola.

INTERFERENCIAS DE ONDAS ARMÓNICAS

¿Cómo será la expresión matemática que dé cuenta de la interferencia de dos ondas en un punto dado del espacio? Lo único que hay que hacer es aplicar el principio de superposición y ciertas razones trigonométricas.

Lo mejor, como suele ser habitual, es centrarse primero en un caso particular que sea más sencillo de manejar. Y a partir de ahí se puede ir generalizando.

En concreto, vale la pena considerar primero lo que ocurre cuando interfieren ondas armónicas de la misma frecuencia. Si el medio es homogéneo (densidad constante) e isótropo (igual en todas las direcciones) la velocidad de propagación de las ondas será constante y eso conlleva que el número de ondas (k) sea el mismo también. Para este caso entonces, lo único que cambiará para dos ondas en un punto dado P será:

• su distancia al foco emisor (s)
• su amplitud (A)

 

Ahora no hay más que aplicar el principio de superposición; es decir, sumar matemáticamente ambas expresiones. Aplicando la razón trigonométrica que da cuenta de cos(a-b) y sacando denominador común:

Bajo la conjetura de que la onda resultante también será armónica (o sea, senosoidal) en su forma más genérica, podremos relacionar la expresión de arriba con la siguiente:

 

Comparando ambas expresiones podemos obtener la amplitud de la onda resultante en función de la distancia del punto considerado a cada uno de los focos (basta con elevar al cuadrado los términos marcados en rojo y violeta y sumarlos).

A lo que se llega es a que en función de la relación entre s1 y s2 con respecto a la longitud de onda tendremos puntos donde habrá interferencias constructivas o destructivas o cualquier situación intermedia entre ambas.

Exactamente esto es lo que se puede ver de forma muy gráfica en el vídeo que acompaña a esta entrada con una animación que simula tales interferencias.

INTERFERENCIAS

Por el principio de superposición sabemos que el efecto de tener dos o más frentes de onda provenientes de diferentes fuentes propagándose a través de un medio, tiene el efecto en cada punto equivalente a sumar los efectos que tendrían en el mismo cada una de las ondas.

El resultado práctico de esto es que se crean patrones de interferencia. Éstos se dan porque hay puntos del espacio en los que la suma de ambas ondas deriva en una amplitud máxima (zonas luminosas), mientras que en otros puntos se dan las condiciones para que la amplitud sea mínima o nula (zonas sombreadas).

Por claridad, conviene enfrentar un estudio detallado del fenómeno ondulatorio de las interferencias para el caso particular de la ondas armónicas.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN, ONDAS ESTACIONARIAS Y FÍSICA CUÁNTICA

Hasta ahora hemos visto como se comporta y caracteriza una onda armónica. ¿Pero cómo podemos describir lo que sucede cuando varias ondas viajan por el mismo medio? Eso viene dado por el principio de superposición.

El origen estricto del principio de superposición es puramente matemático y requiere que un sistema o fenómeno físico pueda ser descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Una manera simplificada de ejemplificar tal tipo de ecuaciones es imaginar una función y(x). La función es lineal si la solución suma de las soluciones que se obtienen a partir de dos valores diferentes de x, 

y1 + y2 = f(x1) + f(x2) 

es igual a la solución que se obtiene directamente de la suma de los dos valores de x,

y12 = f(x1 + x2)

y1 + y2 = y12

La consecuencia de ella es que, aplicado a las ondas, cada onda se comporta como si las demás ondas no estuvieran presentes en el medio.

Si uno quiere hallar el comportamiento total de todas las ondas que se propagan en un medio, puede hallar la ecuación que describe a cada una de ellas y no debe hacer más que sumarlas todas para hallar la ecuación final que las describe a todas a la vez.

Uno de los casos específicos en lo que se aplica el principio de superposición es el de la ondas estacionarias. Estas son ondas que se producen en un medio que esta fijo por uno o ambos extremos; como puede ser una cuerda. Lo que ocurre es que por el extremo que está fijo el medio de propagación, al llegar una onda, es reflejada. Entonces, al haber una onda incidente y otra reflejada, la onda total resulta de la superposición de ambas.

Un caso aún más específico se da cuando una onda estacionaria se produce en un círculo. 

En todos los casos las ondas estacionarias ponen de relieve que éstas solamente pueden perdurar si su longitud de onda guarda una relación concreta con la longitud entre los extremos o del círculo. Es decir, que las ondas estacionarias solamente existen para un número discreto de longitudes de ondas.

Esto es lo que llevaría a la formulación del primer principio de cuantización que daría nacimiento a la Física Cuántica. 

Siendo rigurosos, el principio de superposición solamente es válido para las ondas electromagnéticas y ondas mecánicas de pequeña amplitud, como las ondas sonoras. Para ondas mecánicas de gran amplitud, las vibraciones locales del medio ya no pueden ser descritas como osciladores armónicos y las ecuaciones reales que las modelan incluyen términos no lineales como senos y cosenos. 

ONDAS LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES

En las ondas transversales las oscilaciones se producen en un eje perpendicular a la dirección de propagación.

En las ondas longitudinales las oscilaciones se producen en la misma dirección que la propagación.

En ambos casos lo que se transmite es energía, pero no materia.

FÓRMULA DE VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE UNA ONDA

La velocidad de propagación de una onda se puede expresar de forma generalizada a partir del módulo de Bulk, cantidad qué da cuenta de la capacidad de deformación de un medio por presión.

Es preciso reseñar que la expresión que se obtiene es absolutamente análoga a la de la velocidad de una onda en una cuerda, sin más que sustituyamos B por T, y la densidad lineal por la volumétrica.

El carácter general de esta expresión hace que sea válida tanto para sólidos, como para líquidos y gases. Lo que pasa es que esta expresión general, en cada caso particular derivará en una expresión particular, como puede ser la velocidad del sonido en el aire.

MÓDULO DE BULK

El módulo de Bulk se define como la relación entre la presión deformadora producida por una fuerza por unidad de superficie y la deformación relativa que produce por unidad de volumen.

Esta definición suele aplicarse a sólidos, pero también es válida para líquidos y gases.

En el vídeo de arriba podemos ver cómo se define el módulo de Bulk. Mientras que en el vídeo de abajo podemos ver cómo se aplica precisamente cuando lo único que provoca un cambio de volumen es un cambio en la longitud.

CÓMO DEDUCIR LA VELOCIDAD DEL SONIDO

El primero que abordó el cálculo teórico de la velocidad del sonido en el aire fue Newton. Su principal premisa fue que el sonido se tenía que propagar por el aire a temperatura constante. Bajo esa premisa, teniendo en cuenta los factores de los que depende la velocidad del sonido, podemos por analogía obtener una expresión equivalente a la que se obtiene para la velocidad de una onda en una cuerda, sin más que sustituir la tensión por la presión de la onda de aire y la densidad lineal por la volumétrica.

Sin embargo el valor teórico arrojado por esta fórmula no concuerda lo suficientemente con el que se halla experimentalmente.

Un par de siglos más tarde sería Laplace el que acometería la tarea de corregir la expresión de Newton. ¿Cómo lo hizo? Básicamente lo que hizo fue sustituir la hipótesis de partida. En lugar de suponer que la onda de sonido era un proceso isotermo, lo que supuso fue que era un proceso adiábatico. O sea, que se propaga sin que se produzca un intercambio de calor con el medio. En realidad Laplace concibió que la compresión y expansión que se producía localmente en las moléculas del gas por una onda de sonido se traducirían en un calentamiento y enfriamiento local que en término medio implicaría un intercambio de calor nulo.

Esta premisa añade el coeficiente de expansión adiabático a la expresión teórica y al sustituirlo por su valor en el aire el resultado que da sí que está en buena concordancia con el valor experimental que ronda los 340 m/s.

VELOCIDAD DE UNA ONDA EN UNA CUERDA

La vibración de las partículas de una cuerda se puede concebir como si de una alineación de osciladores armónicos se tratara. De la ecuación diferencial del movimiento armónico simple se deriva la frecuencia angular o pulsación del mismo:

Para una cuerda, la tensión es el equivalente a la constante de recuperación elástica de un oscilador, extendida a lo largo de la misma. Y al estar la masa de la cuerda repartida igualmente en toda su longitud, es lógico que se considere la densidad lineal de masa en lugar de la masa.

Por lo demás, la relación es idéntica, con lo que resulta intuitivo concebir la velocidad de propagación de la onda en la cuerda como la raíz cuadrada de la tensión dividida por la masa por unidad de longitud.

DE QUÉ DEPENDE LA VELOCIDAD DEL SONIDO

La propagación de las ondas de sonido se debe a pequeñas variaciones en la presión a nivel local del medio. Esto es, pequeñas compresiones y expansiones son las que se trasladan de unas moléculas a otras. Por lo tanto es lógico pensar que la velocidad de propagación del sonido va a depender del coeficiente de compresibilidad del medio.

Pero también va a depender de su densidad y de la temperatura. Cuanto más denso sea un medio más rápidas se transmitirán las colisiones de unas moléculas con otras. Cuanto mayor sea la temperatura más agitación molecular habrá, lo que facilitará la transmisión de la energía por colisión igualmente. 

Por último, la velocidad del sonido dependerá de la masa molecular de la/s molécula/s que lo componen. Y también de su estado. A grandes rasgos tendremos una velocidad del sonido para sólidos, otra para líquidos y otra para gases. En los sólidos es dónde la velocidad será mayor. En los gases, como el aire, es dónde la velocidad del sonido será menor.

COMO MEDIR LA VELOCIDAD DEL SONIDO

Uno de los métodos más comúnmente utilizados para medir la velocidad de propagación del sonido en el aire es de las ondas estacionarias en un tubo.

Lo que se hace es controlar la columna de agua que ocupa un volumen dentro de un tubo. Modificando la altura de dicha columna se busca los valores para los que un sonido emitido con una fuente externa (diapasón, generador de audio,...) alcanza máximos y/o mínimos consecutivos.

La distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos se corresponde con la cuarta parte de la longitud de onda.

La distancia entre dos máximos o dos mínimos consecutivos se corresponde con la mitad de la longitud de onda. 

De esta manera a partir de puntos medidos en la columna de agua dentro del tubo se pueden obtener distancias que se relacionan con la longitud de onda. 

Si conocemos la frecuencia del tono emitido, sacaremos la velocidad del sonido como el producto de la longitud de onda por la frecuencia (o lo que es lo mismo, longitud de onda dividida por el periodo; espacio partido por tiempo).

En el vídeo de arriba vemos una recreación realizada con fines didácticos de este experimento.

En el vídeo de abajo vemos como se realiza este experimento con mayor detalle en el laboratorio.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE UNA ONDA

La forma más fácil e intuitiva de hallar la velocidad de propagación de una onda armónica es relacionando la longitud de onda con el periodo que tarda la onda en completar una oscilación completa. A menudo, el periodo se obtiene indirectamente como el inverso de la frecuencia.

Otra cosa es hallar de forma teórica cuál es la velocidad de propagación concreta para cada tipo de onda. Esto va a requerir un estudio pormenorizado del fenómeno subyacente a la propagación de la perturbación original. En la mayoría de los casos esto va a implicar un conocimiento de la naturaleza del medio en el que se propaga. Sin embargo, la velocidad de la luz puede no depender de eso, ya que se puede propagar en el vacío también.

De esta manera se puede obtener una expresión que dé cuenta, por ejemplo, de la:

• velocidad del sonido
• velocidad de la luz

ECUACIÓN DE D' ALEMBERT

Ya se ha visto cómo es la ecuación que describe una onda armónica en una dimensión, cómo deducirla a partir de una conjetura y cómo se puede extrapolar en tres dimensiones o en la aproximación de ondas planas.

Sin embargo, hay otra ecuación que se puede deducir a partir de la ecuación de una onda armónica y que nos muestra otro aspecto de la misma. Se trata de una ecuación diferencial, por lo que se puede deducir derivando la ecuación de partida respecto del tiempo y las coordenadas espaciales y viendo la relación que emerge entre ambas. Se conoce como la ecuación de d' Alembert y pone de relieve que las segundas derivadas de la onda respecto al tiempo y respecto a las coordenadas espaciales son proporcionales a la velocidad de propagación de la mismas al cuadrado. Mejor lo vemos con un pequeño ejemplo aplicado a una onda que se propaga en una sola dimensión.

ONDAS PLANAS

El estudio de las ondas se centra muy a menudo en un caso práctico conocido como ondas planas. Las ondas planas no existen realmente ya que todas las ondas deben partir de un foco emisor y, por lo tanto, sus frentes de onda tienen que mostrar convergencia hacia un punto. Para ondas planas, el foco emisor se encontraría en el infinito.

Si las ondas fueran generadas por un foco puntual, los frentes de onda serían superficies esféricas. Pero en realidad los focos emisores tienen una forma dada y ocupan un espacio, como ocurre con una antena emisora de radio, por ejemplo, y entonces la forma de los frentes de onda se puede complicar bastante.

Sin embargo, a grandes distancias, es más que aceptable asemejar el foco emisor a un punto, y aproximar las ondas esféricas a ondas planas, ya que si comparamos las superficies concéntricas de esferas muy grandes en una escala muy pequeña respecto a su radio, éstas parecen planos paralelos.

En esta aproximación, las ondas pueden ser descritas por una ecuación que solamente dependerá de una variable espacial y el tiempo. De lo contrario, la posición en la ecuación de onda debería ser tratada con un vector r = (x, y, z). De igual manera,  fuera de la aproximación de ondas planas, el número de ondas k, se tendrá que tratar como un vector de componentes k = (kx,ky,kz).

En el vídeo de abajo podemos ver los frentes de onda de ondas planas generadas en este caso con una cubeta de ondas, sin necesidad de recurrir, por lo tanto, a la aproximación mencionada anteriormente.