DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

En el vídeo superior asociado a esta entrada podemos ver de dónde proviene gráficamente la definición matemática de la derivada de una función en un punto. Siguiendo, sin necesidad de explicación ninguna, la pedagógica animación, podemos apreciar como la derivada surge de la razón entre dos distancias, que dan cuenta de la separación vertical y horizontal de dos puntos dados, ambos pertenecientes a una misma función.

El cociente entre estas dos cantidades se corresponde a una razón trigonométrica llamada tangente y cuyo valor da cuenta de la inclinación de la recta que pasa por ambos puntos. Se trata de una razón trigonométrica porque, como se puede apreciar si nos fijamos bien en el vídeo, relaciona dos de los lados de un triángulo rectángulo. En particular, relaciona los lados que se cruzan formando un ángulo recto, denominados catetos. El cateto opuesto es el que está al lado opuesto del ángulo alfa. Y el cateto adyacente es el que forma parte del ángulo alfa. De forma que la tangente de alfa es el cociente entre el cateto opuesto entre el cateto adyacente.

Esa tangente se corresponde con el valor de la derivada en x cuando acercamos infinitamente B a A; o sea cuando la separación h entre esos dos puntos tiende a cero. Vemos que en este caso la recta que pasa por A y B pasa a ser tangente a la curva en el punto A, lo cual justica que a la razón trigonométrica utilizada se la denomine así.

Vemos así que la definición de la derivada de una función en un punto incorpora en sí misma la aplicación de los siguientes conocimientos previos:

·         la definición y aplicación de razones trigonométricas con es la tangente de un ángulo.

·         el cálculo de límites de una función.

En base al conocimiento y manejo de estas dos herramientas matemáticas es como se puede aplicar la definición de derivada a las diferentes funciones tipo conocidas (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, ...) obteniendo la tabla de derivadas. En el siguiente vídeo se puede ver un ejemplo práctico de cómo se puede obtener la función derivada si se procede aplicando la definición de la misma y se calcula el límite cuando h tiende a cero.

A partir de la tabla de derivadas y unas pocas reglas para combinar sus elementos (suma, resta, producto, división y composición o regla de la cadena) seremos capaces de obtener la función derivada en un punto genérico x a partir de cualquier otra función. Esto podrá ser aplicado, por ejemplo, en cinemática, para calcular la función velocidad de un objeto para cualquier instante de tiempo si conocemos cuál es la función que describe la posición en el tiempo. 

El cálculo de derivadas puede llegar a ser largo y tedioso a medida que lo apliquemos a funciones más y más complejas. No es el propósito de este blog seguir profundizando en los cálculos sino introducir las mínimas herramientas para poder progresar en los conceptos básicos sobre los que se fundamentan las más elementales leyes de la Física. Y la derivada es, sin duda, uno de ellos.